Discussione:
si può fare questa operazione? è lecita?
(troppo vecchio per rispondere)
pino mugo
2021-01-02 21:24:21 UTC
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lim (x---->0) ln(1+x) / x = 1

Moltiplico ambo i membri per x e ottengo :

lim (x---->0) ln(1+x) = x


Grazie
Massimo Grazzini
2021-01-03 11:33:34 UTC
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lim (x---->0) ln(1+x) / x = 1
lim (x---->0) ln(1+x) = x
Date due funzioni f e g definite nelle vicinanze di x_0 (qui sono volutamente impreciso, per non perdere tempo in questioni altre rispetto a quelle che chiedi),
tu sai che se sono verificate TUTTE le seguenti condizioni:

1) anche la funzione fg è definita nelle vicinanze di x_0;
2) esiste il limite L = lim(x-->x_0) f(x);
3) esiste il limite K = lim(x-->x_0) g(x);
4) LK non è una forma indeterminata.

Allora il limite lim(x-->x_0) f(x)g(x) esiste di sicuro e vale proprio LK.

Nel tuo caso puoi porre f(x) = ln(1+x) / x, g(x) = x.

Sai che f, g e fg sono definite nelle vicinanze di x_0 = 0 (a rigore: 0 è un punto di accumulazione per il dominio di tutte e tre le funzioni)

Sai che:

lim(x-->x_0) f(x) = lim (x---->0) ln(1+x) / x = 1

lim(x-->x_0) g(x) = lim (x---->0) x = 0

Osservando che per x neq 0 si ha ln(x + 1) = (ln(x + 1)/x) * x = f(x)g(x), si può dedurre che

lim (x---->0) ln(1+x) = lim (x---->0) (ln(1+x) / x) *x = lim (x---->0) ln(1+x) / x * lim (x---->0) x = 1 * 0 = 0

Solo che per ottenere questo risultato non occorre mettere su tutto questo ambaradan...

Massimo
Elio Fabri
2021-01-03 15:50:36 UTC
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Post by Massimo Grazzini
Date due funzioni f e g definite nelle vicinanze di x_0
...
Solo che per ottenere questo risultato non occorre mettere su tutto questo ambaradan...
Tutto bene, ma direi che non hai letto bene quello che l'OP ha chiesto.
Capisco che accettare una domanda come quella riesca impossibile :-(
--
Elio Fabri
Massimo Grazzini
2021-01-03 21:11:20 UTC
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Post by Elio Fabri
Capisco che accettare una domanda come quella riesca impossibile :-(
Beh, l'intento era di invitarlo a rivedere le proprie conoscenze, senza far pesare troppo
che la domanda denota, diciamo così, una sostanziale non comprensione del concetto di limite...

Saluti,

Massimo
pino mugo
2021-01-03 21:25:03 UTC
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Post by Massimo Grazzini
Post by Elio Fabri
Capisco che accettare una domanda come quella riesca impossibile :-(
Beh, l'intento era di invitarlo a rivedere le proprie conoscenze, senza far pesare troppo
che la domanda denota, diciamo così, una sostanziale non comprensione del concetto di limite...
ok, a volte faccio domande naif per vedere se operativamente durante gli esercizi una certa cosa si può fare , come in questo caso, in cui mi hai confermato implicitamente che si può ( il teorema del limite del prodotto lo conosco).
Un po' come la derivata di funzione composta, in cui si "semplificano" i dy :

w= g(y)
y=f(x)
dw/dy * dy/dx = dw/dx

Grazie
Alberto Rasà
2021-01-04 22:18:38 UTC
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Post by pino mugo
ok, a volte faccio domande naif per vedere se operativamente durante gli esercizi una certa cosa si può fare , come in questo caso, in cui mi hai confermato implicitamente che si può
Cosa, che lim (x---->0) ln(1+x) = x? Te lo scordi.
A meno che tu intendessi:
lim (x---->0) ln(1+x) = lim (x---->0) x
che _è tutt'altra_ cosa.

--
Wakinian Tanka
pino mugo
2021-01-04 22:33:46 UTC
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Post by Alberto Rasà
Post by pino mugo
ok, a volte faccio domande naif per vedere se operativamente durante gli esercizi una certa cosa si può fare , come in questo caso, in cui mi hai confermato implicitamente che si può
Cosa, che lim (x---->0) ln(1+x) = x? Te lo scordi.
però se provo con x= 10^-11
ottengo:
ln(1+ 0.00000000001) = 0.00000000001

Non è corretto?
Lynkx
2021-01-05 05:06:23 UTC
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Post by pino mugo
Post by Alberto Rasà
Post by pino mugo
ok, a volte faccio domande naif per vedere se operativamente durante gli esercizi una certa cosa si può fare , come in questo caso, in cui mi hai confermato implicitamente che si può
Cosa, che lim (x---->0) ln(1+x) = x? Te lo scordi.
però se provo con x= 10^-11
ln(1+ 0.00000000001) = 0.00000000001
Non è corretto?
No!!!

ln(1+10^-11) = 9,9999999999500000000003333333333e^-12 <> 10^-11

Cambia calcolatrice!!!!
pino mugo
2021-01-06 02:16:04 UTC
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Post by Lynkx
Post by Alberto Rasà
Post by pino mugo
ok, a volte faccio domande naif per vedere se operativamente durante gli esercizi una certa cosa si può fare , come in questo caso, in cui mi hai confermato implicitamente che si può
Cosa, che lim (x---->0) ln(1+x) = x? Te lo scordi.
però se provo con x= 10^-11
ln(1+ 0.00000000001) = 0.00000000001
Non è corretto?
No!!!
ln(1+10^-11) = 9,9999999999500000000003333333333e^-12 <> 10^-11
Cambia calcolatrice!!!!
ho usato wolphram alfa
Elio Fabri
2021-01-06 10:07:54 UTC
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Però se provo con x= 10^-11
ln(1+ 0.00000000001) = 0.00000000001
Non è corretto?
Spero che Massimo abbia capito che con tipi come te i metodi soft sono
inutili.
Pensi pure che ti abbia dato ragione :-(

Perciò (una tantum, poi non mi andrò più a impegolare in discussioni
così insensate) lo dico chiaro.
Una scrittura come
lim (x-->0) ln(1+x) = x
è completamente priva di senso.
A primo membro c'è un limite, che - se esiste - deve essere un numero
(nel nostro caso è 0).
A secondo membro c'è un'indeterminata "x" che non si sa che cosa stia
a significare.

La tua giustificazione è ancora peggio.
Scrivi
ln(1+ 0.00000000001) = 0.00000000001
uguaglianza che al meglio è vera solo in modo approssimato (v.
appresso).
Comunque hai fatto sparire il limite a primo membro: perché?
La mia ipotesi è che tu non abbia idea di che cosa significa la
notazione lim(x-->0) ...
O meglio te ne sei data una spiegazione tutta tua: che significhi
ln(1+x) è appross. uguale a x quando x è piccolo.
Ma questo non è il significato che ha in matematica.

Una relazione corretta sarebbe
lim (x-->0) ln(1+x) = lim(x-->0) x
perché entrambi i limiti valgono 0.
Ma è vera anche questa:
lim (x-->0) ln(1+x) = lim(x-->0) x^2
o questa:
lim (x-->0) ln(1+x) = lim(x-->0) x^100
(tutti i limiti scritti valgono 0).

Ma prova un po' a verificare
ln(1+ 0.00000000001) = (0.00000000001)^100
e poi mi saprai dire...
No!!!
ln(1+10^-11) = 9,9999999999500000000003333333333e^-12 <> 10^-11
Cambia calcolatrice!!!!
Intanto hai sbagliato a scrivere
9,9999999999500000000003333333333e^-12
devi scrivere
9,9999999999500000000003333333333e-12
(non è una potenza!)

Poi se ci si mette a dettagliare con così tante cifre, bisogna essere
precisi.
Il segno = è sbagliato. Anche se al secondo membro hai 32 cifre,
l'uguaglianza non sussiste. Perché non ne hai scritte altre 32?
Per capire che ln(1 + 10^(-11)) è diverso da 10^(-11) bastavano 11
cifre.

Molto meglio usare lo sviluppo in serie del logaritmo (a patto di
conoscerlo):
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
Se x>0 la serie è a segni alterni e si possono scrivere delle
disuguaglianze rigorose:
0 < ln(1+x) < x
x - x^2/2 < ln(1+x) < x
x - x^2/2 < ln(1+x) < x - x^2/2 + x^3/3
...
per es. se x = 10^(-11) la terza dice che
ln(1+x) < 10^(-11) - 5*10^(-23) + 3.4*10^(-34)
e la differenza sta nella 23-ma cifra decimale.
--
Elio Fabri
pino mugo
2021-01-06 14:16:48 UTC
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Post by Elio Fabri
per es. se x = 10^(-11) la terza dice che
ln(1+x) < 10^(-11) - 5*10^(-23) + 3.4*10^(-34)
e la differenza sta nella 23-ma cifra decimale.
grazie dell'esaustiva risposta!
è proprio vero ..UBI MAIOR MINOR CESSAT

effe
2021-01-04 22:57:31 UTC
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Post by pino mugo
lim (x---->0) ln(1+x) / x = 1
lim (x---->0) ln(1+x) = x
Io credo che tu intenda questo:
puoi scrivere ln(1+x) ~ x perché
ln(1+x) = x+o(x) con o(x) infinitesimo di ordine superiore a x al
tendere di x a 0.
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