Discussione:
Giochino 63: integrali senza calcolo integrale
(troppo vecchio per rispondere)
El Filibustero
2020-11-27 19:29:13 UTC
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Dimostrare (senza calcolo integrale) che l'area sottesa dal grafico di
f(x)=1/x nell'intervallo [a,b] e' la stessa che nell'intervallo
[1/b,1/a]. Ciao
effe
2020-11-27 22:59:36 UTC
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Post by El Filibustero
Dimostrare (senza calcolo integrale) che l'area sottesa dal grafico di
f(x)=1/x nell'intervallo [a,b] e' la stessa che nell'intervallo
[1/b,1/a]. Ciao
Per il teorema del valor medio, area nell'intervallo [1/b,1/a] è data da
(1/a-1/b)*f[1/b+k*(1/a-1/b)]=(b-a)/(ab)*1/[1/b+k*(b-a)/(ab)]=
=(b-a)*1/[a+k*(b-a)]=(b-a)*f[a+k*(b-a)] = area in [a,b].
El Filibustero
2020-11-27 23:35:12 UTC
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Post by effe
Per il teorema del valor medio, area nell'intervallo [1/b,1/a] è data da
(1/a-1/b)*f[1/b+k*(1/a-1/b)]=(b-a)/(ab)*1/[1/b+k*(b-a)/(ab)]=
=(b-a)*1/[a+k*(b-a)]=(b-a)*f[a+k*(b-a)] =
fin qui ineccepibile, ma cosa assicura che la frazione d'intervallo k
in cui era situato il valor medio di f in [1/b,1/a] sia proprio la
stessa nel caso del valor medio in [a,b]? Ciao
effe
2020-11-28 07:20:11 UTC
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Post by El Filibustero
ma cosa assicura che la frazione d'intervallo k
in cui era situato il valor medio di f in [1/b,1/a] sia proprio la
stessa nel caso del valor medio in [a,b]? Ciao
Ti rispondo a senso, non in modo rigoroso.
La funzione è decrescente e continua e assume tutti i valori compresi
tra il minimo e il max. in ogni intervallo.
Se divido gli intervalli [1/b,1/a] e [a,b] nello stesso numero di parti
ottengo che l'area dei rettangoli di base (1/a-1/b) e (b-a), calcolata
con le altezze corrispondenti ai vari punti, è sempre la stessa.
(1/a-1/b)*f(1/b)=(b-a)/a=(b-a)*f(a)
(1/a-1/b)*f(1/a)=(b-a)/b=(b-a)*f(b)
...
(1/a-1/b)*f[(1/b+1/a)/2]=2*(b-a)/b+a)=(b-a)*f[(a+b)/2]
Pensando al Cavalieri viene da pensare che l'area coincide. Ciao
El Filibustero
2020-11-28 10:04:43 UTC
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Post by effe
Ti rispondo a senso, non in modo rigoroso.
La funzione è decrescente e continua e assume tutti i valori compresi
tra il minimo e il max. in ogni intervallo.
Se divido gli intervalli [1/b,1/a] e [a,b] nello stesso numero di parti
ottengo che l'area dei rettangoli di base (1/a-1/b) e (b-a), calcolata
con le altezze corrispondenti ai vari punti, è sempre la stessa.
(1/a-1/b)*f(1/b)=(b-a)/a=(b-a)*f(a)
(1/a-1/b)*f(1/a)=(b-a)/b=(b-a)*f(b)
...
(1/a-1/b)*f[(1/b+1/a)/2]=2*(b-a)/b+a)=(b-a)*f[(a+b)/2]
Pensando al Cavalieri viene da pensare che l'area coincide.
Anche senza Cavalieri, ancora piu' semplice. Hint: la simmetria di
y=1/x rispetto a y=x. Ciao

Elio Fabri
2020-11-28 09:04:19 UTC
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Post by El Filibustero
Dimostrare (senza calcolo integrale) che l'area sottesa dal grafico
di f(x)=1/x nell'intervallo [a,b] e' la stessa che nell'intervallo
[1/b,1/a]. Ciao
Il problema con quesiti come questo è che non si capisce bene che cose
è permesso sapere...
In questo caso, parlare di area ma non di calcolo integrale è più o
meno un ossimoro.
Io lo interpreto così: non è permesso usare il teorema fondamentale,
che connette il calcolo di un integrale con la ricerca di una
primitiva.

Ciò posto, dimostro un risultato più generale: l'area nell'intervallo
[a,b] è uguale a quella in [ka,kb], per ogni k reale positivo.

Consideriamo l'affinità T: (x,y) |-> (x',y') = (kx,y/k).
Si tratta di un'affinità equivalente, ossia che conserva le aree
(debbo dimostrarlo?)
Ciascuno dei rami dell'iperbole equilatera y=1/x è invariante sotto T.
Il risultato cercato ne segue immediatamente.
--
Elio Fabri
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