Giochino 67: la piramide a gradoni

[El Filibustero]

e' fatta da una pila di parallelepipedi a base quadrata. Pultroppo il
materiale da costruzione scarseggia assaj sicche' il lato di base
dell' n-esimo gradone deve essere meno della meta' [per la precisione,
(2n-1)/(4n) volte] del lato di base del gradone (n-1)-esimo
sottostante. Anche l'altezza dei gradoni va diminuendo: quella
dell'n-esimo e' 2n/(2n+1) volte l'altezza del sottostante. Se il
blocco di base cuba 12500 cubiti cubi, quanti cubiti cubi cuba la
piramide con infiniti gradoni? Ciao

[Massimo Grazzini]

Ho fatto i conti di corsa e probabilmente ho sbagliato qualcosa, comunque direi che cuba

V_1/sqrt(1 - x^2)

con V_1 = 12500 cubiti cubi e x = 2.

Post by El Filibustero
e' fatta da una pila di parallelepipedi a base quadrata. Pultroppo il
materiale da costruzione scarseggia assaj sicche' il lato di base
dell' n-esimo gradone deve essere meno della meta' [per la precisione,
(2n-1)/(4n) volte] del lato di base del gradone (n-1)-esimo
sottostante. Anche l'altezza dei gradoni va diminuendo: quella
dell'n-esimo e' 2n/(2n+1) volte l'altezza del sottostante. Se il
blocco di base cuba 12500 cubiti cubi, quanti cubiti cubi cuba la
piramide con infiniti gradoni? Ciao

[Massimo Grazzini]

Acc... x = 1/2

Post by Massimo Grazzini
Ho fatto i conti di corsa e probabilmente ho sbagliato qualcosa, comunque direi che cuba
V_1/sqrt(1 - x^2)
con V_1 = 12500 cubiti cubi e x = 2.

Post by El Filibustero
e' fatta da una pila di parallelepipedi a base quadrata. Pultroppo il
materiale da costruzione scarseggia assaj sicche' il lato di base
dell' n-esimo gradone deve essere meno della meta' [per la precisione,
(2n-1)/(4n) volte] del lato di base del gradone (n-1)-esimo
sottostante. Anche l'altezza dei gradoni va diminuendo: quella
dell'n-esimo e' 2n/(2n+1) volte l'altezza del sottostante. Se il
blocco di base cuba 12500 cubiti cubi, quanti cubiti cubi cuba la
piramide con infiniti gradoni? Ciao

[El Filibustero]

Post by Massimo Grazzini
Acc... x = 1/2

Post by Massimo Grazzini
Ho fatto i conti di corsa e probabilmente ho sbagliato qualcosa, comunque direi che cuba
V_1/sqrt(1 - x^2)

circa 14434? Un po' meno. Hint: l'emulo di Imhotep che l'ha progettata
voleva fare qualcosa di trascendentale. Ciao

[Massimo Grazzini]

Post by El Filibustero
circa 14434? Un po' meno. Hint: l'emulo di Imhotep che l'ha progettata
voleva fare qualcosa di trascendentale.

Proviamo a rifare i conti con calma.

Post by El Filibustero

Post by El Filibustero
e' fatta da una pila di parallelepipedi a base quadrata.
...il lato di base dell' n-esimo gradone deve essere (2n-1)/(4n) volte del lato di base del gradone (n-1)-esimo

Detta B_{n} la lunghezza del lato della base dell'n-esimo gradone, si ha B_{n} = (2n-1)B_{n-1}/4n.

Post by El Filibustero

Post by El Filibustero
Anche l'altezza dei gradoni va diminuendo: quella dell'n-esimo e' 2n/(2n+1) volte l'altezza del sottostante.

Detta H_{n} l'altezza dell'n-esimo gradone, si ha H_{n} = 2n H_{n-1}/(2n + 1).

Siamo in grado di esprimere il volume del gradone n-esimo in funzione del suo predecessore:

V_{n} = (B_{n})^2 H_{n} = [(2n-1)B_{n-1}/4n]^2 * 2n H_{n-1}/(2n + 1) = 2n (2n-1)^2 / [4^2 n^2(2n+1)] V_{n-1} =
= (2n-1)^2 / [4*2n(2n+1)] V_{n-1}.

V_{n} = (B_{n})^2 H_{n} = [(2n-1)B_{n-1}/4n]^2 * 2n H_{n-1}/(2n + 1) = 2n (2n-1)^2 / [4^2 n^2(2n+1)] V_{n-1} =
= (2n-1)^2 / [4*2n(2n+1)] V_{n-1}.

Post by El Filibustero

Post by El Filibustero
il blocco di base cuba 12500 cubiti cubi

Si ha dunque il vincolo V_{1} = 12500. Segue che

V_{2} = 3^2 / (4*4*5) V_{1}.

V_{3} = 5^2 / (4*6*7) V_{2} = (3*5)^2 / [4^2*(4*6)*(5*7)] V_{1}

V_{4} = 7^2 / (4*8*9)] V_{3} = (3*5*7)^2 / [4^3*(4*6*8)*(5*7*9)] V_{1}

...

V_{n} = [(2n-1)!!]^2 / [4^(n-1) (2n)!!/2 * (2n+1)!!/3] V_{1} = 24* [(2n-1)!!]^2 / [4^n (2n)! !(2n-1)!!(2n + 1)] V_{1} =
= 24* (2n-1)!! / [4^n (2n)!! (2n + 1)] V_{1} = 48* ((2n-1)!! / [(2n)!! (2n + 1)]) *(1/2)^(2n+1) V_{1}

Posto x = 1/2, Il volume complessivo sarà quindi

Sum(n=1 --> infty) V_{n} = 48V_{1} Sum(k=1 --> infty) (2n-1)!! / [(2n)!! (2n + 1)] x^(2n+1).

Controllando le tavole degli sviluppi in serie di Taylor, si nota che quello sopra è lo sviluppo di arcsin(x) (ecco la funzione trascendentale)
e quindi

V_tot = 48V_{1}arcsin(1/2) = 8*pi*V_{1}.

[Elio Fabri]

Post by Massimo Grazzini
Controllando le tavole degli sviluppi in serie di Taylor, si nota che
quello sopra è lo sviluppo di arcsin(x) (ecco la funzione
trascendentale)

Uff... Si dice *trascendente*!!!
Non mi frega niente se in inglese si dice "transcendental".
Forse l'italiano lo dobbiamo imparare dagli inglesi? (o peggio dagli
americani).
Controlla pure dovunque ti pare, e se trovi un sito serio o un libro
che dice trascendentale fammelo sapere.

[El Filibustero]

Post by Massimo Grazzini
Controllando le tavole degli sviluppi in serie di Taylor, si nota che quello
sopra è lo sviluppo di arcsin(x) (ecco la funzione trascendentale)
e quindi
V_tot = 48V_{1}arcsin(1/2) = 8*pi*V_{1}.

Guasi. Nello sviluppo completo di arcsin ci sarebbe un termine in
piu', allora non viene pi ma pi-3. O sia: la piramide cuba
8*(pi-3)*V_{1} ~= 14159.26 cubiti cubi. Ciao