Discussione:
Numeri irrazionali e numeri decimali periodici
(troppo vecchio per rispondere)
Bruno Honda
2020-12-28 14:53:02 UTC
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Un numero decimale periodico è ad esempio 23,48771877187718771877
mentre invece un numero irrazionale non è periodico nel senso che non ha cifre dopo la virgola) che si ripetono all'infinito ad esempio radice (2) =
1,414213562373095048801688....

La periodicità del numero decimale di cui ho fatto l'esempio 1877, avviene dopo la quarta cifra decimale.
Mentre per il numero irrazionale 1,414213562373095048801688.... (sembra)
che non ci sia periodicità e senz'altro sarà così.
Fatto questo preambolo la mia domanda è come faccio a dimostrare che un numero è irrazionale ? Mi spiego meglio ho quel numero
1,414213562373095048801688.... le cui cifre dopo la virgola non si ripetono,
ma chi mi dice che la periodicità non cominci dopo 1000 o 10000 o più ancora cifre dopo la virgola ?
maitre Aliboron
2020-12-28 15:46:27 UTC
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Post by Bruno Honda
ma chi mi dice che la periodicità non cominci dopo 1000 o 10000 o più ancora cifre dopo la virgola ?
Il fatto che e' irrazionale? :-)

Se avesse periodicita', esite un procedimento per esprimerlo come rapporto.

E comunque mi sentirei di obbiettare sul fatto che i numeri (o meglio la
rappresentazione numerica) non abbiano periodicita' (a meno di non
considerare 0 una cifra). Infatti, mi pare ci sia una scuola di pensiero
che affermi che ogni numero, anche intero, abbia sempre una periodicita'
(addirittura per gli interi si possono esprimere in forma doppia:
2 = 2,0000.... come anche 2 = 1,9999....).

Mi pare che se ne discusse proprio su questi luoghi eoni fa.
--
maitre Aliboron
Lynkx
2020-12-28 16:21:36 UTC
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Post by Bruno Honda
Un numero decimale periodico è ad esempio 23,48771877187718771877
mentre invece un numero irrazionale non è periodico nel senso che non ha cifre dopo la virgola) che si ripetono all'infinito ad esempio radice (2) =
1,414213562373095048801688....
La periodicità del numero decimale di cui ho fatto l'esempio 1877, avviene dopo la quarta cifra decimale.
Mentre per il numero irrazionale 1,414213562373095048801688.... (sembra)
che non ci sia periodicità e senz'altro sarà così.
Fatto questo preambolo la mia domanda è come faccio a dimostrare che un numero è irrazionale ? Mi spiego meglio ho quel numero
1,414213562373095048801688.... le cui cifre dopo la virgola non si ripetono,
ma chi mi dice che la periodicità non cominci dopo 1000 o 10000 o più ancora cifre dopo la virgola ?
https://www.gpmeneghin.com/schede/aritmetica/rad2.htm
Alberto Rasà
2021-01-18 11:19:34 UTC
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Post by Bruno Honda
Un numero decimale periodico è ad esempio 23,48771877187718771877
mentre invece un numero irrazionale non è periodico nel senso che non ha cifre dopo la virgola) che si ripetono all'infinito ad esempio radice (2) =
1,414213562373095048801688....
La periodicità del numero decimale di cui ho fatto l'esempio 1877, avviene dopo la quarta cifra decimale.
Mentre per il numero irrazionale 1,414213562373095048801688.... (sembra)
che non ci sia periodicità e senz'altro sarà così.
Fatto questo preambolo la mia domanda è come faccio a dimostrare che un numero è irrazionale ? Mi spiego meglio ho quel numero
1,414213562373095048801688.... le cui cifre dopo la virgola non si ripetono,
ma chi mi dice che la periodicità non cominci dopo 1000 o 10000 o più ancora cifre dopo la virgola ?
Quando dici: "ho quel numero" commetti un errore. "Hai quel numero" solo quando "hai il numero esatto" ovveri, ad esempio, quando scrivi sqrt{2}. Altrimenti non lo hai proprio. A meno che tu *sappia già che è razionale* e allora puoi trovarne una rappresentazione decimale finita.
Ma non è "studiando le rappresentazioni decimali" che puoi stabilire se un numero è razionale o irrazionale (a meno che, appunto tu ne trovi facilmente una rapp. finita).

--
Wakinian Tanka
Elio Fabri
2021-01-19 13:30:39 UTC
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Post by Alberto Rasà
Quando dici: "ho quel numero" commetti un errore. "Hai quel numero"
solo quando "hai il numero esatto" ovveri, ad esempio, quando scrivi
sqrt{2}. Altrimenti non lo hai proprio. A meno che tu *sappia già che
è razionale* e allora puoi trovarne una rappresentazione decimale
finita.
Ma non è "studiando le rappresentazioni decimali" che puoi stabilire
se un numero è razionale o irrazionale (a meno che, appunto tu ne
trovi facilmente una rapp. finita).
Qualche commento.
Intanto non è vero che un razionale ha sempre rappr. decimale finita:
il caso periodico dove lo metti? Ma questo lo considero un lapsus.
Poi è aperta la possibilità che ti riesca di dare un algoritmo per la
rappr. decimale: in tal caso se dimostri che l'algoritmo non è
periodico, hai dimostrato che il numero è irrazionale.

Hai certamente ragione su un aspetto fondamentale, di cui non mi
occuperei se riguardasse solo l'OP (che non leggo, dato che ho deciso
che cercare di spiegargli la matematica è inutile).
Ma temo invece che si tratti di una confusione diffusissima.
Mi riferisco all'identificazione di un numero con la sua rappr.
decimale.
Se qualche matematico si prendesse la briga di fare sondaggi, tra
ragazzi o anche fra adulti, se ne vedrebbero della belle (si fa per
dire).
Si scoprirebbe (è solo una mia previsione, certo) che la stragrande
maggioranza mostrerebbero di non andare oltre quel punto di vista
erroneo e ingenuo.
Nessuna meraviglia, visto come questo tema della matematica *non*
viene insegnato. Dopo le regolette che s'imparano nella scuola
primaria e secondaria di primo grado (ex media) c'è il silenzio :-(

Mi si potrebbe obiettare che non è vero: nelle Ind.Naz. per il primo
biennio dello scientifico si parla esplicitamente:
a) di dimostrazione dell'irraz. di sqrt(2)
b) di Teorema di Pitagora per le sue implicazioni, appunto per gli
irrazionali.
E si trova pure scritto "insistendo soprattutto sugli aspetti
concettuali".

Questa è la teoria, ma se si va alla pratica didattica credo che gli
argomenti vengano o trascurati o trattati troppo velocemente. In ogni
caso non credo che a 14-15 anni un ragazzo (eccezioni a parte) sia
capace di capire il signifcato di tutto ciò.
Ci si dovrebbe tornare in anni successivi, ma chi lo fa?

L'OP (ma non solo lui, ne sono sicuro) ignora che l'irrazionalità di
sqrt(2) era già nota ai pitagorici attorno a 2500 anni fa.
E ignora anche che a quel tempo non avevano la minima idea di cosa
potesse essere una rappr. decimale, che era di là da venire per
parecchi secoli.
Come avranno dato la dimostrazione? Mistero...

C'è un'altra direzione interessante in cui cercare criteri
d'irrazionalità (e anche di trascendenza).
Mi riferisco al teorema di Dirichlet (1834?) e a quello di Roth
(1955). Te li ricordo, perché suppongo che non li conosci.

Dirichlet (corollario di un teorema più generale).
se x è irrazionale, esistono infinite coppie d'interi (p,q) tali che
|x - p/q| < 1/q^2.

Nota: se x è razionale la tesi è ovviamente falsa.
Lo sviluppo in frazione continua di sqrt(2) fornisce appunto un
insieme d'infinite ridotte che soddisfano la tesi del teorema.
Questo è un modo (sofisticato) per dimostrare che sqrt(2) è
irrazionale.

Roth:
Comunque scelto eps>0, se x è irraz. algebrico la condizione

|x - p/q| < 1/q^(2+eps)

è soddisfatta solo da un numero finito di coppie (p,q).
--
Elio Fabri
Massimiliano Catanese
2021-01-19 17:13:25 UTC
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Post by Bruno Honda
Un numero decimale periodico è ad esempio 23,48771877187718771877
mentre invece un numero irrazionale non è periodico nel senso che non ha cifre dopo la virgola) che si ripetono all'infinito ad esempio radice (2) =
1,414213562373095048801688....
La periodicità del numero decimale di cui ho fatto l'esempio 1877, avviene dopo la quarta cifra decimale.
Mentre per il numero irrazionale 1,414213562373095048801688.... (sembra)
che non ci sia periodicità e senz'altro sarà così.
Fatto questo preambolo la mia domanda è come faccio a dimostrare che un numero è irrazionale ? Mi spiego meglio ho quel numero
1,414213562373095048801688.... le cui cifre dopo la virgola non si ripetono,
ma chi mi dice che la periodicità non cominci dopo 1000 o 10000 o più ancora cifre dopo la virgola ?
semplicemente NON PUOI dimostrare che un numero è razionale (o irrazionale) a partire SOLO dalla
sua rappresentazione decimale, per il semplice fatto che le cifre dopo la virgola sono infinite, mentre
quelle che conosci sono finite.

In altre parole se io scrivo 9,0000 ... (prima o poi dovrò fermarmi con gli zeri !) non posso essere sicuro
che (ma d' altra parte lo hai detto anche tu) dopo un numero magari ENORME di 0 non apparirà per
es. il numero 1. E poi chissà cos' altro.

infatti i matematici ragionano esattamente al contrario, ossia :
sapendo (già) che x è razionale allora posso dimostrare che il suo sviluppo decimale è periodico
(anche 9,000 ... è periodico. Con periodo lungo 1 ed uguale allo 0. Quindi tutti i razionali sono
periodici)
sapendo invece che x è non razionale allora posso dimostrare che il suo sviluppo decimale non è
periodico.

La dimostrazione è facile e intuitiva, ma la tralascio per non ammorbarti inutilmente :-)

Quindi : quand' è che un certo x è razionale ? Quando esistono due interi m,n tali che x = m/n
Si, dirai tu, ma a sua volta come sappiamo che m ed n sono ... interi ? Lo sappiamo solo per ipotesi,
ossia ammettiamo che m ed n siano elementi di un certo insieme (N) definito dal fatto che gode
di certe proprietà specifiche.

E scava che ti riscava, posso affermare che noi non sappiamo COSA sia un intero, in realtà. In
altre parole non conosciamo la natura dei singoli numeri ma solo delle relazioni che hanno con
altri numeri (e non le conosciamo nemmeno tutte. E il bello è proprio questo. Sennò che noia
che sarebbe ... )

Ossia un intero è tale quando ha certe proprietà e soprattutto quando NON HA certe altre
proprietà. Per es. ogni razionale ha un inverso (tranne lo 0) della sua stessa natura, ossia un
razionale : ogni x razionale ha un suo y razionale tale che x*y = 1

Invece un intero (tranne l' 1) non ha inverso : 3, per es., dovrebbe avere 1/3 come inverso.
Peccato che 1/3 non è un intero.

Le quali proprietà pero' possono essere descritte SOLTANTO (solo e soltanto) quando lo
mettiamo in relazione con ALTRI numeri.

Diciamo che ti sei cercato una bella gatta da pelare, via. E passa la paura :-))))
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