Post by Alberto RasàQuando dici: "ho quel numero" commetti un errore. "Hai quel numero"
solo quando "hai il numero esatto" ovveri, ad esempio, quando scrivi
sqrt{2}. Altrimenti non lo hai proprio. A meno che tu *sappia già che
è razionale* e allora puoi trovarne una rappresentazione decimale
finita.
Ma non è "studiando le rappresentazioni decimali" che puoi stabilire
se un numero è razionale o irrazionale (a meno che, appunto tu ne
trovi facilmente una rapp. finita).
Qualche commento.
Intanto non è vero che un razionale ha sempre rappr. decimale finita:
il caso periodico dove lo metti? Ma questo lo considero un lapsus.
Poi è aperta la possibilità che ti riesca di dare un algoritmo per la
rappr. decimale: in tal caso se dimostri che l'algoritmo non è
periodico, hai dimostrato che il numero è irrazionale.
Hai certamente ragione su un aspetto fondamentale, di cui non mi
occuperei se riguardasse solo l'OP (che non leggo, dato che ho deciso
che cercare di spiegargli la matematica è inutile).
Ma temo invece che si tratti di una confusione diffusissima.
Mi riferisco all'identificazione di un numero con la sua rappr.
decimale.
Se qualche matematico si prendesse la briga di fare sondaggi, tra
ragazzi o anche fra adulti, se ne vedrebbero della belle (si fa per
dire).
Si scoprirebbe (è solo una mia previsione, certo) che la stragrande
maggioranza mostrerebbero di non andare oltre quel punto di vista
erroneo e ingenuo.
Nessuna meraviglia, visto come questo tema della matematica *non*
viene insegnato. Dopo le regolette che s'imparano nella scuola
primaria e secondaria di primo grado (ex media) c'è il silenzio :-(
Mi si potrebbe obiettare che non è vero: nelle Ind.Naz. per il primo
biennio dello scientifico si parla esplicitamente:
a) di dimostrazione dell'irraz. di sqrt(2)
b) di Teorema di Pitagora per le sue implicazioni, appunto per gli
irrazionali.
E si trova pure scritto "insistendo soprattutto sugli aspetti
concettuali".
Questa è la teoria, ma se si va alla pratica didattica credo che gli
argomenti vengano o trascurati o trattati troppo velocemente. In ogni
caso non credo che a 14-15 anni un ragazzo (eccezioni a parte) sia
capace di capire il signifcato di tutto ciò.
Ci si dovrebbe tornare in anni successivi, ma chi lo fa?
L'OP (ma non solo lui, ne sono sicuro) ignora che l'irrazionalità di
sqrt(2) era già nota ai pitagorici attorno a 2500 anni fa.
E ignora anche che a quel tempo non avevano la minima idea di cosa
potesse essere una rappr. decimale, che era di là da venire per
parecchi secoli.
Come avranno dato la dimostrazione? Mistero...
C'è un'altra direzione interessante in cui cercare criteri
d'irrazionalità (e anche di trascendenza).
Mi riferisco al teorema di Dirichlet (1834?) e a quello di Roth
(1955). Te li ricordo, perché suppongo che non li conosci.
Dirichlet (corollario di un teorema più generale).
se x è irrazionale, esistono infinite coppie d'interi (p,q) tali che
|x - p/q| < 1/q^2.
Nota: se x è razionale la tesi è ovviamente falsa.
Lo sviluppo in frazione continua di sqrt(2) fornisce appunto un
insieme d'infinite ridotte che soddisfano la tesi del teorema.
Questo è un modo (sofisticato) per dimostrare che sqrt(2) è
irrazionale.
Roth:
Comunque scelto eps>0, se x è irraz. algebrico la condizione
|x - p/q| < 1/q^(2+eps)
è soddisfatta solo da un numero finito di coppie (p,q).
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Elio Fabri