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Domanda : sistemi assiomatici (SA), modelli e teorema di Godel
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r***@gmail.com
2018-10-31 13:34:41 UTC
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La domanda che vorrei porre è questa :

sappiamo che certi SA, una volta interpretati, presentano
modelli (i modelli di un SA sono le interpretazioni di
questo SA) in cui una certa fbf dell' SA è vera e altri
in cui è falsa.

In tal caso la fbf non è un teorema (perchè i teoremi
sono tutte e sole le fbf vere in ogni modello) ed ovviam.
risulta indecidibile

Il primo teorema di godel afferma appunto che una certa
"classe" (insieme) ben definita di SA presenta fbf
indecidibili. Che quindi risultano vere in certi modelli
e false in altre.

Vorrei tanto sapere : si puo' avere un esempio concreto
di una fbf vera in un modello e falsa in un altro ?

E potete farmi vedere concretamente come fate a sapere che
è vera in un modello e falsa in un altro ?

Grazie mille
Giovanni
2018-10-31 16:16:21 UTC
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Post by r***@gmail.com
sappiamo che certi SA, una volta interpretati, presentano
modelli (i modelli di un SA sono le interpretazioni di
questo SA) in cui una certa fbf dell' SA è vera e altri
in cui è falsa.
In tal caso la fbf non è un teorema (perchè i teoremi
sono tutte e sole le fbf vere in ogni modello) ed ovviam.
risulta indecidibile
Il primo teorema di godel afferma appunto che una certa
"classe" (insieme) ben definita di SA presenta fbf
indecidibili. Che quindi risultano vere in certi modelli
e false in altre.
Vorrei tanto sapere : si puo' avere un esempio concreto
di una fbf vera in un modello e falsa in un altro ?
E potete farmi vedere concretamente come fate a sapere che
è vera in un modello e falsa in un altro ?
Grazie mille
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
r***@gmail.com
2018-11-05 09:56:23 UTC
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Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !

Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?

Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)

Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.

Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.

Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.

Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)

Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.

Ebbene :
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.

Allora :
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.

Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie

Ma (e qui viene il bello) :

se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf

(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)

Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.

Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.

Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.

Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.

Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.

Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi

Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??

(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)

Fammi sapere
r***@gmail.com
2018-11-05 10:27:59 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
Aspetta (scusa) prima di rispondermi vorrei dirti anche questo :
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.

E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.

Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!

Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Giovanni
2018-11-05 11:29:04 UTC
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Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.

Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
per ciò stesso non è derivabile una contraddizione:
quindi il sistema è coerente.
r***@gmail.com
2018-11-05 12:05:11 UTC
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Post by Giovanni
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Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
no, non è questo il punto (a dar retta al libro) :

Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)

Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.

Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !

Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
Post by Giovanni
Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
r***@gmail.com
2018-11-05 12:11:34 UTC
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Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)
Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.
Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !
Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
Post by Giovanni
Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
pero' (aggiungo) QUESTA tua non è idonea a risolvere il problema
in generale. Questa tua è idonea solo al problema SPECIFICO della
coerenza della logica proposizionale.
Giovanni
2018-11-05 14:21:35 UTC
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La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)
Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.
Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !
Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
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Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
pero' (aggiungo) QUESTA tua non è idonea a risolvere il problema
in generale. Questa tua è idonea solo al problema SPECIFICO della
coerenza della logica proposizionale.
Il secondo teorema di Godel afferma che la coerenza dell'aritmetica non
è dimostrabile nel sistema stesso dell'aritmetica, ossia, la coerenza
non è dimostrabile usando strumenti logici della stessa potenza
dell'aritmetica ovvero strumenti aritmetici.
Gentzen ha dimostrato la coerenza dell'aritmetica usando lo strumento
dell'induzione transfinita che non è formalizzabile all'interno della
aritmetica.
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2018-11-06 12:49:06 UTC
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La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)
Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.
Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !
Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
Post by Giovanni
Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
pero' (aggiungo) QUESTA tua non è idonea a risolvere il problema
in generale. Questa tua è idonea solo al problema SPECIFICO della
coerenza della logica proposizionale.
Il secondo teorema di Godel afferma che la coerenza dell'aritmetica non
è dimostrabile nel sistema stesso dell'aritmetica, ossia, la coerenza
non è dimostrabile usando strumenti logici della stessa potenza
dell'aritmetica ovvero strumenti aritmetici.
Gentzen ha dimostrato la coerenza dell'aritmetica usando lo strumento
dell'induzione transfinita che non è formalizzabile all'interno della
aritmetica.
a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.

Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.

Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.

Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.

Il che ... ehm ...
Giovanni
2018-11-07 11:32:10 UTC
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Post by r***@gmail.com
a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.

Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
D'altra parte, in generale, per la logica:
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!

Giovanni
2018-11-05 14:15:32 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)
Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.
Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !
Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
Se un sistema è contradditorio, incoerente, allora si può derivare
una QUALUNQUE fbf.
Per contrapposizione, se non si può derivare qualunque fbf allora
non è contradditorio.
Non c'entra se la fbf è una tautologia o no.

Siccome nel sistema si possono derivare solo tautologie, basta un esempio
di non tautologia per verificare la condizione.

Che ci sia una tautologia non derivabile è una condizione sufficiente
ma non necessaria.

Se esistesse una tautologia non derivabile allora il sistema sarebbe
semanticamente INCOMPLETO.
Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
r***@gmail.com
2018-11-05 15:22:47 UTC
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Post by Giovanni
Se un sistema è contradditorio, incoerente, allora si può derivare
una QUALUNQUE fbf.
Per contrapposizione, se non si può derivare qualunque fbf allora
non è contradditorio.
Non c'entra se la fbf è una tautologia o no.
E va bene. Lo dice il libro, tu lo confermi. Sarà cosi, santo Dio.

E allora devo dire che la cosa è (concettualmente) di una banalità
sconcertante

E quindi trasportando il tutto nell' aritmetica (con la logica del
primo ordine) basterebbe beccare anche la una fbf non dimostrabile
per dire che l' SA che descrive l' aritmetica è coerente.
JTS
2018-11-05 14:20:35 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
Non ho letto tuttissimo, ma non e' che stai confondendo coerenza con completezza? Se dimostri che esiste una tautologia non derivabile hai dimostrato che il sistema non e' completo. Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile hai dimostrato che il sistema e' coerente (do per scontato che in un sistema incoerente si possa derivare qualsiasi formula, questo dovrebbe essere il famoso "ex falso quodlibet").
JTS
2018-11-05 14:26:46 UTC
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Post by JTS
Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile
Leggendo il messaggio di Giovanni, correggo:

"Se dimostri che c'e' una formula non derivabile"

(non serve che sia falsa!)
r***@gmail.com
2018-11-05 15:42:18 UTC
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Post by JTS
Post by r***@gmail.com
Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
Non ho letto tuttissimo,
male fratello. Male :-)
Post by JTS
ma non e' che stai confondendo coerenza con completezza ?
no, assolutamente
Post by JTS
Se dimostri che esiste una tautologia non derivabile hai
dimostrato che il sistema non e' completo.
e ho dimostrato anche che è coerente : due piccioni con una
fava :-)
Post by JTS
Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile hai
dimostrato che il sistema e' coerente (do per scontato che
in un sistema incoerente si possa derivare qualsiasi
formula, questo dovrebbe essere il famoso "ex falso quodlibet").
e ho dimostrato anche che è incompleto :-)
Sempre due piccioni con una fava

Il fatto è che un sistema è completo se e solo se dimostra
OGNI fbf. Capisci ?

Invece qua, per la logica proposizionale, hanno forzato la
questione.

Ossia hanno fatto un SA che è necessariamente incompleto a
priori (dal momento che dimostra solo tautologie, e non ogni
fbf)

E allora grazie al cazzo che è coerente. Mi segui ? L' hanno
costruito A FORZA coerente. A calci e pugni.

E' come se tu costruissi un SA che descrive solo una parte
dell' aritmetica ma che al contempo tutte le sue fbf descrivono
ogni possibile asserzione sui numeri.

Ti verrebbe necessariamente coerente.

senza offesa, eh ! Ma :
Cè qualcosa che non va. Decisamente. Possibile che te e Giovanni
non riusciate a vederlo ? :-)
JTS
2018-11-05 16:08:12 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by JTS
Post by r***@gmail.com
Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
Non ho letto tuttissimo,
male fratello. Male :-)
Post by JTS
ma non e' che stai confondendo coerenza con completezza ?
no, assolutamente
Post by JTS
Se dimostri che esiste una tautologia non derivabile hai
dimostrato che il sistema non e' completo.
e ho dimostrato anche che è coerente : due piccioni con una
fava :-)
Post by JTS
Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile hai
dimostrato che il sistema e' coerente (do per scontato che
in un sistema incoerente si possa derivare qualsiasi
formula, questo dovrebbe essere il famoso "ex falso quodlibet").
e ho dimostrato anche che è incompleto :-)
Sempre due piccioni con una fava
E' solo un piccione. Hai scoperto che un sistema incompleto e' per forza coerente (cosa alla quale fino ad oggi non avevo mai pensato).

L'altro piccione e' il sistema completo. Non credo che un sistema completo debba dimostrare tutte le formule ben formate. Infatti la negazione di un assioma e' una formula ben formata, che pero' e' falsa.

Poi (senza averci pensato) che abbiano fatto un sistema di cui e' possibile mostrare la coerenza posso crederci (una cosa cosi' serve a fare passare per cosa pazzescamente sottile una cosa normale ;-) )
r***@gmail.com
2018-11-05 16:23:11 UTC
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Post by JTS
Post by r***@gmail.com
Post by JTS
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Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
Non ho letto tuttissimo,
male fratello. Male :-)
Post by JTS
ma non e' che stai confondendo coerenza con completezza ?
no, assolutamente
Post by JTS
Se dimostri che esiste una tautologia non derivabile hai
dimostrato che il sistema non e' completo.
e ho dimostrato anche che è coerente : due piccioni con una
fava :-)
Post by JTS
Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile hai
dimostrato che il sistema e' coerente (do per scontato che
in un sistema incoerente si possa derivare qualsiasi
formula, questo dovrebbe essere il famoso "ex falso quodlibet").
e ho dimostrato anche che è incompleto :-)
Sempre due piccioni con una fava
E' solo un piccione.
no, so' due.

Se dimostri che è incompleto dimostri pure che è coerente.

Se dimostri che è coerente dimostri pure che è incompleto

Ma questa ultima affermazione ERA vera fintanto che credevo
che un sistema è completo se (e solo se) dimostra tutte le
sue fbf.
Post by JTS
Non credo che un sistema completo debba dimostrare tutte le
formule ben formate. Infatti la negazione di un assioma e'
una formula ben formata, che pero' e' falsa.
giusto, giusto

Ok, m' avete convinto :-)
Giovanni
2018-11-06 08:42:16 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by JTS
E' solo un piccione.
no, so' due.
Se dimostri che è incompleto dimostri pure che è coerente.
Se dimostri che è coerente dimostri pure che è incompleto
Ma questa ultima affermazione ERA vera fintanto che credevo
che un sistema è completo se (e solo se) dimostra tutte le
sue fbf.
Post by JTS
Non credo che un sistema completo debba dimostrare tutte le
formule ben formate. Infatti la negazione di un assioma e'
una formula ben formata, che pero' e' falsa.
giusto, giusto
Ok, m' avete convinto :-)
La giusta definizione di sistema completo è:
un sistema è completo se per ogni fbf,
o la fbf stessa o la sua negazione è un suo teorema.
E, naturalmente, SOLO UNA delle due è derivabile.
Per la precisione, questa è la completezza SINTATTICA.
C'è anche la completezza SEMANTICA:
un sistema è SEMANTICAMENTE COMPLETO se ogni tautologia
è un suo teorema.
Siccome abbiamo visto che ci sono fbf (Anche molto banali)
che ne la fbf ne la sua negazione sono teoremi,
allora possiamo dire che la logica delle proposizioni
è sintatticamente incompleta e semanticamente completa.
Che sia sintatticamente incompleta non è che c'interessa
molto, l'importante è che sia semanticamente completa.
Quest'ultima cosa significa che sono derivabili delle
verità logiche, tipo il teorema di De Morgan e le diverse
proprietà importanti della logica proposizionale.
Importante è ci sono così 2 modi per verificare se una fbf
è un teorema:
1) Il metodo delle Tavole di verità
2) Il calcolo logico mediante l'applicazione delle
regole di inferenza.
r***@gmail.com
2018-11-05 16:40:57 UTC
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Post by JTS
Poi (senza averci pensato) che abbiano fatto un sistema di cui
e' possibile mostrare la coerenza posso crederci (una cosa cosi'
serve a fare passare per cosa pazzescamente sottile una cosa
normale ;-) )
gia

un' altra cosa : te l' ho mai detto che sei un bel po' simpatico ?
No ? Ebbè te lo dico adesso, allora. Sul serio, sei forte ;-)

Un abbraccio e grazie per l' aiuto.
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