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Domanda : sistemi assiomatici (SA), modelli e teorema di Godel
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r***@gmail.com
2018-10-31 13:34:41 UTC
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La domanda che vorrei porre è questa :

sappiamo che certi SA, una volta interpretati, presentano
modelli (i modelli di un SA sono le interpretazioni di
questo SA) in cui una certa fbf dell' SA è vera e altri
in cui è falsa.

In tal caso la fbf non è un teorema (perchè i teoremi
sono tutte e sole le fbf vere in ogni modello) ed ovviam.
risulta indecidibile

Il primo teorema di godel afferma appunto che una certa
"classe" (insieme) ben definita di SA presenta fbf
indecidibili. Che quindi risultano vere in certi modelli
e false in altre.

Vorrei tanto sapere : si puo' avere un esempio concreto
di una fbf vera in un modello e falsa in un altro ?

E potete farmi vedere concretamente come fate a sapere che
è vera in un modello e falsa in un altro ?

Grazie mille
Giovanni
2018-10-31 16:16:21 UTC
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Post by r***@gmail.com
sappiamo che certi SA, una volta interpretati, presentano
modelli (i modelli di un SA sono le interpretazioni di
questo SA) in cui una certa fbf dell' SA è vera e altri
in cui è falsa.
In tal caso la fbf non è un teorema (perchè i teoremi
sono tutte e sole le fbf vere in ogni modello) ed ovviam.
risulta indecidibile
Il primo teorema di godel afferma appunto che una certa
"classe" (insieme) ben definita di SA presenta fbf
indecidibili. Che quindi risultano vere in certi modelli
e false in altre.
Vorrei tanto sapere : si puo' avere un esempio concreto
di una fbf vera in un modello e falsa in un altro ?
E potete farmi vedere concretamente come fate a sapere che
è vera in un modello e falsa in un altro ?
Grazie mille
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
r***@gmail.com
2018-11-05 09:56:23 UTC
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Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !

Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?

Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)

Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.

Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.

Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.

Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)

Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.

Ebbene :
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.

Allora :
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.

Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie

Ma (e qui viene il bello) :

se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf

(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)

Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.

Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.

Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.

Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.

Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.

Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi

Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??

(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)

Fammi sapere
r***@gmail.com
2018-11-05 10:27:59 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
Aspetta (scusa) prima di rispondermi vorrei dirti anche questo :
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.

E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.

Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!

Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Giovanni
2018-11-05 11:29:04 UTC
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Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.

Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
per ciò stesso non è derivabile una contraddizione:
quindi il sistema è coerente.
r***@gmail.com
2018-11-05 12:05:11 UTC
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Post by Giovanni
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Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
no, non è questo il punto (a dar retta al libro) :

Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)

Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.

Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !

Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
Post by Giovanni
Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
r***@gmail.com
2018-11-05 12:11:34 UTC
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Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)
Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.
Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !
Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
Post by Giovanni
Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
pero' (aggiungo) QUESTA tua non è idonea a risolvere il problema
in generale. Questa tua è idonea solo al problema SPECIFICO della
coerenza della logica proposizionale.
Giovanni
2018-11-05 14:21:35 UTC
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La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)
Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.
Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !
Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
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Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
pero' (aggiungo) QUESTA tua non è idonea a risolvere il problema
in generale. Questa tua è idonea solo al problema SPECIFICO della
coerenza della logica proposizionale.
Il secondo teorema di Godel afferma che la coerenza dell'aritmetica non
è dimostrabile nel sistema stesso dell'aritmetica, ossia, la coerenza
non è dimostrabile usando strumenti logici della stessa potenza
dell'aritmetica ovvero strumenti aritmetici.
Gentzen ha dimostrato la coerenza dell'aritmetica usando lo strumento
dell'induzione transfinita che non è formalizzabile all'interno della
aritmetica.
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2018-11-06 12:49:06 UTC
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La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
E che non bastasse solo dimostrare, invece, la non derivabilità
di una QUALSIASI fbf.
Della serie : e grazie al cavolo che una qualunque fbf non è
derivabile se non è una tautologia ! Per forza ! Il sistema è
stato congegnato per derivare solo tautologie !!!!!
Cè qualcosa che non va ! Ma non sarà che il libro è sbagliato ?
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)
Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.
Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !
Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
Post by Giovanni
Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
pero' (aggiungo) QUESTA tua non è idonea a risolvere il problema
in generale. Questa tua è idonea solo al problema SPECIFICO della
coerenza della logica proposizionale.
Il secondo teorema di Godel afferma che la coerenza dell'aritmetica non
è dimostrabile nel sistema stesso dell'aritmetica, ossia, la coerenza
non è dimostrabile usando strumenti logici della stessa potenza
dell'aritmetica ovvero strumenti aritmetici.
Gentzen ha dimostrato la coerenza dell'aritmetica usando lo strumento
dell'induzione transfinita che non è formalizzabile all'interno della
aritmetica.
a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.

Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.

Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.

Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.

Il che ... ehm ...
Giovanni
2018-11-07 11:32:10 UTC
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Post by r***@gmail.com
a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.

Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
D'altra parte, in generale, per la logica:
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!
r***@gmail.com
2018-11-19 12:37:09 UTC
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Post by Giovanni
Post by r***@gmail.com
a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.
Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!
Giusto, è un condizionale. E per la legge dello scarico esso
vale indipendentemente dalle assunzioni.

Grazie mille !
Giovanni
2018-11-19 17:14:27 UTC
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Post by Giovanni
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a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.
Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!
Giusto, è un condizionale. E per la legge dello scarico esso
vale indipendentemente dalle assunzioni.
Se l'antecedente è falso il condizionale vale indipendentemente
dal conseguente.
Ma, se l'antecedente è vero, il conseguente deve necessariamente
essere vero, affinchè il condizionale sia vero, diversamente nisba.
r***@gmail.com
2018-11-20 13:38:16 UTC
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a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.
Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!
Giusto, è un condizionale. E per la legge dello scarico esso
vale indipendentemente dalle assunzioni.
Se l'antecedente è falso il condizionale vale indipendentemente
dal conseguente.
Ma, se l'antecedente è vero, il conseguente deve necessariamente
essere vero, affinchè il condizionale sia vero, diversamente nisba.
si, certo, ma quello che dicevo era un po differente.

Se dimostri che essendo vera A allora è vera anche B cio di per se
è sufficiente a dimostrare che A -> B, alchè (e questo è cio che
si chiama "scarico" delle assunzioni) A -> B è vera a prescindere
dalla verita (o falsita) di A

questo concetto non è cosi banale come sembra, tant' è vero che
è stata una scoperta relativamente recente ad opera di un certo
Gerhard Gentzen (1909-1945) : uno dei piu illustri protagonisti
della logica matematica

un pezzetto :

In altre parole, se abbiamo una derivazione dalla formula A alla
formula B, possiamo inferire A → B; se compiamo tale inferenza,
allora dobbiamo cancellare (ogni occorrenza del) l’assunzione A,
dato che A → B non dipende piu da questa assunzione, o, altrimenti
detto, questa assunzione ` e stata scaricata.

fonte :
http://www.aphex.it/public/file/Content20161031_APhEx14ProfiliGentzenPoggiolesi.pdf
Giovanni
2018-11-20 14:41:06 UTC
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a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.
Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!
Giusto, è un condizionale. E per la legge dello scarico esso
vale indipendentemente dalle assunzioni.
Se l'antecedente è falso il condizionale vale indipendentemente
dal conseguente.
Ma, se l'antecedente è vero, il conseguente deve necessariamente
essere vero, affinchè il condizionale sia vero, diversamente nisba.
si, certo, ma quello che dicevo era un po differente.
Se dimostri che essendo vera A allora è vera anche B cio di per se
è sufficiente a dimostrare che A -> B, alchè (e questo è cio che
si chiama "scarico" delle assunzioni) A -> B è vera a prescindere
dalla verita (o falsita) di A
questo concetto non è cosi banale come sembra, tant' è vero che
è stata una scoperta relativamente recente ad opera di un certo
Gerhard Gentzen (1909-1945) : uno dei piu illustri protagonisti
della logica matematica
In altre parole, se abbiamo una derivazione dalla formula A alla
formula B, possiamo inferire A → B; se compiamo tale inferenza,
allora dobbiamo cancellare (ogni occorrenza del) l’assunzione A,
dato che A → B non dipende piu da questa assunzione, o, altrimenti
detto, questa assunzione ` e stata scaricata.
http://www.aphex.it/public/file/Content20161031_APhEx14ProfiliGentzenPoggiolesi.pdf
Tutto giusto.

Credo che Gentzen sia stato il primo a introdurre una forma di
dimostrazione formale simile al dimostrare tipico dei matematici,
mentre prima si conosceva solo una dimostrazione formale di
tipo hilbertiano, valida ma poco intuitiva.
Quella che a me piace di più è quella naturale nello stile di Fitch,
piuttosto che quella di Gentzen.

Mi sono cimentato con piacere a dimostrare dei teoremi usando
dei programmi_assistenti (Proof assistant), scaricabili gratis on line,
in diversi stili: Hilbert, Gentzen, Fitch, Lemmon.

Proprio in questo periodo mi sto occupando di Gentzen.
Riguarda la dimostrazione della coerenza dell'aritmetica.
In essa Gentzen usa l'induzione transfinita.
E' del tutto simile all'induzione normale solo che prende in considerazione,
oltre ai numeri naturali soliti anche quelli "che seguono":
omega, omega+1, ...
fino addirittura a omega^omega^omega^.... omega volte.
E con ciò và OLTRE la semplice aritmetica.
Infatti Godel dimostrò che non si poteva dimostrare la coerenza
usando solo mezzi putamente aritmetici.

Solo che non riuscivo a capire PERCHE' Gentzen doveva usare gli ordinali
transfiniti.
Lo spiega lui stesso nell'articolo:
http://www.cs.unibo.it/corsi/FolderDidattica/Dispense_on_line/Gentzen_infinito.pdf

MA ...
Insomma, parla di DIMOSTRAZIONI INFINITE !
Come può una dimostrazione essere infinita ?
Lui fa l'esempio della (Normale) dimostrazione per induzione,
che dice implicare infinite dimostrazioni, poiche', per concludere,
come si fa con l'induzione, che una certa proprieta' vale per tutti
i numeri: è come si dimostrasse che P
vale per zero, poi per 1, poi per 2, ecc...:
P(0), P(1), P(2), P(3), ... e così all'infinito.
E, siccome poi le dimostrazioni si compongono di altre dimostrazioni:
si ha una dim infinita dentro un altra infinita ...

Pare che questa cosa salti fuori perchè Gentzen vuole che la sua dimostrazione
sia COSTRUTTIVA, cioè valga per la logica intuizionista.
Se non ho capito male, sembra che la normale dimostrazione per induzione
si trasformi, costruttivamente, in una dimostrazione infinita.

Insomma cercavo di capire un pò meglio la questione.
Solo che è molto difficile trovare qualcosa, sia in rete che sui libri.
r***@gmail.com
2018-11-20 15:50:51 UTC
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Post by Giovanni
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a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.
Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!
Giusto, è un condizionale. E per la legge dello scarico esso
vale indipendentemente dalle assunzioni.
Se l'antecedente è falso il condizionale vale indipendentemente
dal conseguente.
Ma, se l'antecedente è vero, il conseguente deve necessariamente
essere vero, affinchè il condizionale sia vero, diversamente nisba.
si, certo, ma quello che dicevo era un po differente.
Se dimostri che essendo vera A allora è vera anche B cio di per se
è sufficiente a dimostrare che A -> B, alchè (e questo è cio che
si chiama "scarico" delle assunzioni) A -> B è vera a prescindere
dalla verita (o falsita) di A
questo concetto non è cosi banale come sembra, tant' è vero che
è stata una scoperta relativamente recente ad opera di un certo
Gerhard Gentzen (1909-1945) : uno dei piu illustri protagonisti
della logica matematica
In altre parole, se abbiamo una derivazione dalla formula A alla
formula B, possiamo inferire A → B; se compiamo tale inferenza,
allora dobbiamo cancellare (ogni occorrenza del) l’assunzione A,
dato che A → B non dipende piu da questa assunzione, o, altrimenti
detto, questa assunzione ` e stata scaricata.
http://www.aphex.it/public/file/Content20161031_APhEx14ProfiliGentzenPoggiolesi.pdf
Tutto giusto.
Credo che Gentzen sia stato il primo a introdurre una forma di
dimostrazione formale simile al dimostrare tipico dei matematici,
mentre prima si conosceva solo una dimostrazione formale di
tipo hilbertiano, valida ma poco intuitiva.
Quella che a me piace di più è quella naturale nello stile di Fitch,
piuttosto che quella di Gentzen.
Mi sono cimentato con piacere a dimostrare dei teoremi usando
dei programmi_assistenti (Proof assistant), scaricabili gratis on line,
in diversi stili: Hilbert, Gentzen, Fitch, Lemmon.
Proprio in questo periodo mi sto occupando di Gentzen.
Riguarda la dimostrazione della coerenza dell'aritmetica.
In essa Gentzen usa l'induzione transfinita.
E' del tutto simile all'induzione normale solo che prende in considerazione,
omega, omega+1, ...
fino addirittura a omega^omega^omega^.... omega volte.
E con ciò và OLTRE la semplice aritmetica.
Infatti Godel dimostrò che non si poteva dimostrare la coerenza
usando solo mezzi putamente aritmetici.
Solo che non riuscivo a capire PERCHE' Gentzen doveva usare gli ordinali
transfiniti.
http://www.cs.unibo.it/corsi/FolderDidattica/Dispense_on_line/Gentzen_infinito.pdf
MA ...
Insomma, parla di DIMOSTRAZIONI INFINITE !
Come può una dimostrazione essere infinita ?
Lui fa l'esempio della (Normale) dimostrazione per induzione,
che dice implicare infinite dimostrazioni, poiche', per concludere,
come si fa con l'induzione, che una certa proprieta' vale per tutti
i numeri: è come si dimostrasse che P
P(0), P(1), P(2), P(3), ... e così all'infinito.
si ha una dim infinita dentro un altra infinita ...
Pare che questa cosa salti fuori perchè Gentzen vuole che la sua dimostrazione
sia COSTRUTTIVA, cioè valga per la logica intuizionista.
Se non ho capito male, sembra che la normale dimostrazione per induzione
si trasformi, costruttivamente, in una dimostrazione infinita.
qualcosa (appena appena) ho capito e allora ... beh ... ma dopotutto
perchè no ?

Se per quanto riguarda le proprietà P dei numeri ammettiamo
passaggi come :

P(0) è vera ; P(n) => P(n+1) è vera
----> allora P(n) è vera per ogni n

perchè non potremmo (aprendo un po' la mente, ma nemmeno
tanto) fare altrettanto con proprietà inerenti le stesse
dimostrazioni (PD) ?

Per cui (ok : piu o meno, molto piu o meno) :
PD(0) è vera ; PD(n) => PD(n+1) è vera
----> allora PD(n) è vera per ogni n

ovvio che il gran salto cè : siamo saliti ad un livello
molto, molto piu alto

No ?
Giovanni
2018-11-20 16:03:58 UTC
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a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.
Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!
Giusto, è un condizionale. E per la legge dello scarico esso
vale indipendentemente dalle assunzioni.
Se l'antecedente è falso il condizionale vale indipendentemente
dal conseguente.
Ma, se l'antecedente è vero, il conseguente deve necessariamente
essere vero, affinchè il condizionale sia vero, diversamente nisba.
si, certo, ma quello che dicevo era un po differente.
Se dimostri che essendo vera A allora è vera anche B cio di per se
è sufficiente a dimostrare che A -> B, alchè (e questo è cio che
si chiama "scarico" delle assunzioni) A -> B è vera a prescindere
dalla verita (o falsita) di A
questo concetto non è cosi banale come sembra, tant' è vero che
è stata una scoperta relativamente recente ad opera di un certo
Gerhard Gentzen (1909-1945) : uno dei piu illustri protagonisti
della logica matematica
In altre parole, se abbiamo una derivazione dalla formula A alla
formula B, possiamo inferire A → B; se compiamo tale inferenza,
allora dobbiamo cancellare (ogni occorrenza del) l’assunzione A,
dato che A → B non dipende piu da questa assunzione, o, altrimenti
detto, questa assunzione ` e stata scaricata.
http://www.aphex.it/public/file/Content20161031_APhEx14ProfiliGentzenPoggiolesi.pdf
Tutto giusto.
Credo che Gentzen sia stato il primo a introdurre una forma di
dimostrazione formale simile al dimostrare tipico dei matematici,
mentre prima si conosceva solo una dimostrazione formale di
tipo hilbertiano, valida ma poco intuitiva.
Quella che a me piace di più è quella naturale nello stile di Fitch,
piuttosto che quella di Gentzen.
Mi sono cimentato con piacere a dimostrare dei teoremi usando
dei programmi_assistenti (Proof assistant), scaricabili gratis on line,
in diversi stili: Hilbert, Gentzen, Fitch, Lemmon.
Proprio in questo periodo mi sto occupando di Gentzen.
Riguarda la dimostrazione della coerenza dell'aritmetica.
In essa Gentzen usa l'induzione transfinita.
E' del tutto simile all'induzione normale solo che prende in considerazione,
omega, omega+1, ...
fino addirittura a omega^omega^omega^.... omega volte.
E con ciò và OLTRE la semplice aritmetica.
Infatti Godel dimostrò che non si poteva dimostrare la coerenza
usando solo mezzi putamente aritmetici.
Solo che non riuscivo a capire PERCHE' Gentzen doveva usare gli ordinali
transfiniti.
http://www.cs.unibo.it/corsi/FolderDidattica/Dispense_on_line/Gentzen_infinito.pdf
MA ...
Insomma, parla di DIMOSTRAZIONI INFINITE !
Come può una dimostrazione essere infinita ?
Lui fa l'esempio della (Normale) dimostrazione per induzione,
che dice implicare infinite dimostrazioni, poiche', per concludere,
come si fa con l'induzione, che una certa proprieta' vale per tutti
i numeri: è come si dimostrasse che P
P(0), P(1), P(2), P(3), ... e così all'infinito.
si ha una dim infinita dentro un altra infinita ...
Pare che questa cosa salti fuori perchè Gentzen vuole che la sua dimostrazione
sia COSTRUTTIVA, cioè valga per la logica intuizionista.
Se non ho capito male, sembra che la normale dimostrazione per induzione
si trasformi, costruttivamente, in una dimostrazione infinita.
qualcosa (appena appena) ho capito e allora ... beh ... ma dopotutto
perchè no ?
Se per quanto riguarda le proprietà P dei numeri ammettiamo
P(0) è vera ; P(n) => P(n+1) è vera
----> allora P(n) è vera per ogni n
perchè non potremmo (aprendo un po' la mente, ma nemmeno
tanto) fare altrettanto con proprietà inerenti le stesse
dimostrazioni (PD) ?
PD(0) è vera ; PD(n) => PD(n+1) è vera
----> allora PD(n) è vera per ogni n
ovvio che il gran salto cè : siamo saliti ad un livello
molto, molto piu alto
No ?
Se vediamo bene l'induzione, dice:
Se
1) P(0)
2) P(n) => P(n+1)
allora
Per ogni n: P(n)

Forse costruttivamente non è accettata la conclusione.
Se invece ci teniamo solo (1) e (2):
Da P(0)
applicando la (2)
P(0), P(0) => P(1)
e ci portiamo a casa P(1)
Ora, abbiamo P(1),
applichiamo di nuovo la (2)
P(1), P(1) => P(2)
e otteniamo anche P(2)
Proseguendo, in questo modo,
con INFINITI passaggi otteniamo:
Per ogni n: P(n)

Forse perchè, i costruttivisti ammettono solo l'infinito potenziale e
dire "subito" Per ogni n: P(n) è come ammettere l'infinito attuale
(Vedi l'articolo di Genzen che ti ho indicato)
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2018-11-21 12:36:39 UTC
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a proposito dei teoremi di Godel, io ci vedo un punto debole.
Il fatto è che lui è riuscito a produrre quei teoremi avendo
tradotto in numeri ogni fbf del sistema ass. dell' aritmetica.
Alchè ha dimostrato che se l' aritmetica è coerente allora è
incompleta.
Ma se l' aritmetica fosse INcoerente, avrebbe utilizzato per
la sua dimostrazione un sistema (l' aritmetica, appunto) non
idoneo.
Il che ... ehm ...
Bella domanda.
In effetti, se la dimostrazione di Godel si basasse SOLO sulla logica
predicativa, non ci sarebbero problemi visto che si sà che è coerente,
ma Godel si serve anche dell'aritmetica per portare avanti la sua dim.
Supponiamo che l'aritmetica (O meglio il SF per l'aritmetica)
sia incoerente e Godel non lo sa.
Allora, come tu dici, la dimostrazione di Godel, servendosi
dell'aritmetica, non sarebbe valida.
Dato che Godel non disponeva di una dim di coerenza allora
sembrerebbe che la sua dim, anche se non sicuramente invalida, resterebbe
certamente incerta.
Però ...
Godel parte dal presupposto della coerenza dell'aritmetica ...
Possiamo certamente dire però che SE l'artimetica è coerente
la sua dim è valida poichè anche l'artimetica che usa nella dim
è valida.
Insomma, come dici tu, se l'aritmetica fosse incoerente la dim
di Godel non è valida,
ma possiamo sempre dire che se invece fosse stata coerente la
sua dim sarebbe valida.
Ma è proprio ciò che Godel sostiene.
Il Teorema di Godel in effetti è proprio un CONDIZIONALE
se X allora Y.
E in quanto tale VALE.
X => Y è vero a maggior ragione proprio quando X è falso !!!
Giusto, è un condizionale. E per la legge dello scarico esso
vale indipendentemente dalle assunzioni.
Se l'antecedente è falso il condizionale vale indipendentemente
dal conseguente.
Ma, se l'antecedente è vero, il conseguente deve necessariamente
essere vero, affinchè il condizionale sia vero, diversamente nisba.
si, certo, ma quello che dicevo era un po differente.
Se dimostri che essendo vera A allora è vera anche B cio di per se
è sufficiente a dimostrare che A -> B, alchè (e questo è cio che
si chiama "scarico" delle assunzioni) A -> B è vera a prescindere
dalla verita (o falsita) di A
questo concetto non è cosi banale come sembra, tant' è vero che
è stata una scoperta relativamente recente ad opera di un certo
Gerhard Gentzen (1909-1945) : uno dei piu illustri protagonisti
della logica matematica
In altre parole, se abbiamo una derivazione dalla formula A alla
formula B, possiamo inferire A → B; se compiamo tale inferenza,
allora dobbiamo cancellare (ogni occorrenza del) l’assunzione A,
dato che A → B non dipende piu da questa assunzione, o, altrimenti
detto, questa assunzione ` e stata scaricata.
http://www.aphex.it/public/file/Content20161031_APhEx14ProfiliGentzenPoggiolesi.pdf
Tutto giusto.
Credo che Gentzen sia stato il primo a introdurre una forma di
dimostrazione formale simile al dimostrare tipico dei matematici,
mentre prima si conosceva solo una dimostrazione formale di
tipo hilbertiano, valida ma poco intuitiva.
Quella che a me piace di più è quella naturale nello stile di Fitch,
piuttosto che quella di Gentzen.
Mi sono cimentato con piacere a dimostrare dei teoremi usando
dei programmi_assistenti (Proof assistant), scaricabili gratis on line,
in diversi stili: Hilbert, Gentzen, Fitch, Lemmon.
Proprio in questo periodo mi sto occupando di Gentzen.
Riguarda la dimostrazione della coerenza dell'aritmetica.
In essa Gentzen usa l'induzione transfinita.
E' del tutto simile all'induzione normale solo che prende in considerazione,
omega, omega+1, ...
fino addirittura a omega^omega^omega^.... omega volte.
E con ciò và OLTRE la semplice aritmetica.
Infatti Godel dimostrò che non si poteva dimostrare la coerenza
usando solo mezzi putamente aritmetici.
Solo che non riuscivo a capire PERCHE' Gentzen doveva usare gli ordinali
transfiniti.
http://www.cs.unibo.it/corsi/FolderDidattica/Dispense_on_line/Gentzen_infinito.pdf
MA ...
Insomma, parla di DIMOSTRAZIONI INFINITE !
Come può una dimostrazione essere infinita ?
Lui fa l'esempio della (Normale) dimostrazione per induzione,
che dice implicare infinite dimostrazioni, poiche', per concludere,
come si fa con l'induzione, che una certa proprieta' vale per tutti
i numeri: è come si dimostrasse che P
P(0), P(1), P(2), P(3), ... e così all'infinito.
si ha una dim infinita dentro un altra infinita ...
Pare che questa cosa salti fuori perchè Gentzen vuole che la sua dimostrazione
sia COSTRUTTIVA, cioè valga per la logica intuizionista.
Se non ho capito male, sembra che la normale dimostrazione per induzione
si trasformi, costruttivamente, in una dimostrazione infinita.
qualcosa (appena appena) ho capito e allora ... beh ... ma dopotutto
perchè no ?
Se per quanto riguarda le proprietà P dei numeri ammettiamo
P(0) è vera ; P(n) => P(n+1) è vera
----> allora P(n) è vera per ogni n
perchè non potremmo (aprendo un po' la mente, ma nemmeno
tanto) fare altrettanto con proprietà inerenti le stesse
dimostrazioni (PD) ?
PD(0) è vera ; PD(n) => PD(n+1) è vera
----> allora PD(n) è vera per ogni n
ovvio che il gran salto cè : siamo saliti ad un livello
molto, molto piu alto
No ?
Se
1) P(0)
2) P(n) => P(n+1)
allora
Per ogni n: P(n)
Forse costruttivamente non è accettata la conclusione.
Da P(0)
applicando la (2)
P(0), P(0) => P(1)
e ci portiamo a casa P(1)
Ora, abbiamo P(1),
applichiamo di nuovo la (2)
P(1), P(1) => P(2)
e otteniamo anche P(2)
Proseguendo, in questo modo,
Per ogni n: P(n)
Forse perchè, i costruttivisti ammettono solo l'infinito potenziale e
dire "subito" Per ogni n: P(n) è come ammettere l'infinito attuale
(Vedi l'articolo di Genzen che ti ho indicato)
uh
beh allora ...

Uno come lui che senza colpo ferire ti spara che dopo tutti i
numeri naturali "cominciano" i transfiniti dubito possa farsi
amare dai costruttivisti/intuizionisti : infatti se non cè di
mezzo l'infinito attuale in quel concetto non cè da nessuna
parte.
Giovanni
2018-11-21 12:51:04 UTC
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...
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Post by Giovanni
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PD(0) è vera ; PD(n) => PD(n+1) è vera
----> allora PD(n) è vera per ogni n
ovvio che il gran salto cè : siamo saliti ad un livello
molto, molto piu alto
No ?
Se
1) P(0)
2) P(n) => P(n+1)
allora
Per ogni n: P(n)
Forse costruttivamente non è accettata la conclusione.
Da P(0)
applicando la (2)
P(0), P(0) => P(1)
e ci portiamo a casa P(1)
Ora, abbiamo P(1),
applichiamo di nuovo la (2)
P(1), P(1) => P(2)
e otteniamo anche P(2)
Proseguendo, in questo modo,
Per ogni n: P(n)
Forse perchè, i costruttivisti ammettono solo l'infinito potenziale e
dire "subito" Per ogni n: P(n) è come ammettere l'infinito attuale
(Vedi l'articolo di Genzen che ti ho indicato)
uh
beh allora ...
Uno come lui che senza colpo ferire ti spara che dopo tutti i
numeri naturali "cominciano" i transfiniti dubito possa farsi
amare dai costruttivisti/intuizionisti : infatti se non cè di
mezzo l'infinito attuale in quel concetto non cè da nessuna
parte.
Ti faccio rispondere direttamente da Gentzen stesso, che così
giustifica la costruttività anche dei Transfiniti (Almeno di quelli
numerabili, che sono quelli che lui usa):

"La preoccupazione che questa procedura sia non-costruttiva poichè
la concezione attualista di successione completa dei numeri naturali
già sembra entrare nella formazione di omega0, si rivela infondata.
Il concetto di infinito può, senza dubbio, essere qui interpretato
in modo potenziale dicendo, ad esempio: non importa quanto lontano
possiamo andare nella formazione costruttiva di nuovi numeri naturali,
il numero omega0 sta nella relazione n < omega0 con ogni tale numero
naturale n. E le successioni infinite che nascono nella formazione
di altri numeri ordinali dovrebbero essere interpretate precisamente
nello stesso modo."

Ti consiglio di leggerti l'articolo di Gentzen, già citato, sull'infinito:
http://www.cs.unibo.it/corsi/FolderDidattica/Dispense_on_line/Gentzen_infinito.pdf

non è tanto lungo ed è in un linguaggio chiarissimo.
r***@gmail.com
2018-11-21 13:07:40 UTC
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PD(0) è vera ; PD(n) => PD(n+1) è vera
----> allora PD(n) è vera per ogni n
ovvio che il gran salto cè : siamo saliti ad un livello
molto, molto piu alto
No ?
Se
1) P(0)
2) P(n) => P(n+1)
allora
Per ogni n: P(n)
Forse costruttivamente non è accettata la conclusione.
Da P(0)
applicando la (2)
P(0), P(0) => P(1)
e ci portiamo a casa P(1)
Ora, abbiamo P(1),
applichiamo di nuovo la (2)
P(1), P(1) => P(2)
e otteniamo anche P(2)
Proseguendo, in questo modo,
Per ogni n: P(n)
Forse perchè, i costruttivisti ammettono solo l'infinito potenziale e
dire "subito" Per ogni n: P(n) è come ammettere l'infinito attuale
(Vedi l'articolo di Genzen che ti ho indicato)
uh
beh allora ...
Uno come lui che senza colpo ferire ti spara che dopo tutti i
numeri naturali "cominciano" i transfiniti dubito possa farsi
amare dai costruttivisti/intuizionisti : infatti se non cè di
mezzo l'infinito attuale in quel concetto non cè da nessuna
parte.
Ti faccio rispondere direttamente da Gentzen stesso, che così
giustifica la costruttività anche dei Transfiniti (Almeno di quelli
"La preoccupazione che questa procedura sia non-costruttiva poichè
la concezione attualista di successione completa dei numeri naturali
già sembra entrare nella formazione di omega0, si rivela infondata.
Il concetto di infinito può, senza dubbio, essere qui interpretato
in modo potenziale dicendo, ad esempio: non importa quanto lontano
possiamo andare nella formazione costruttiva di nuovi numeri naturali,
il numero omega0 sta nella relazione n < omega0 con ogni tale numero
naturale n. E le successioni infinite che nascono nella formazione
di altri numeri ordinali dovrebbero essere interpretate precisamente
nello stesso modo."
http://www.cs.unibo.it/corsi/FolderDidattica/Dispense_on_line/Gentzen_infinito.pdf
non è tanto lungo ed è in un linguaggio chiarissimo.
l' ho letto, l' ho detto :-)

Quella frase che hai riportato, ossia n < omega0 per ogni n, è
precisa e affascinante ma (imho, s' intende) non "costruisce"
affatto omega0

Non da una "tecnica" per produrlo. omega0 è cioè il piu piccolo
transfinito per cui n < omega0 per ogni n

Ma qual'è ? Come lo si ricava ? E' sufficiente individuarlo solo
citando questa sua proprietà ? Cio lo rende di per se "esistente" ?

Qualche dubbio ce l' ho. E non sono un costruttivista ne un intuizionista
(e nemmeno un matematico, veramente. Ma facciamo finta di niente per
pietà nei miei confronti)

Dimmi
Giovanni
2018-11-21 14:54:32 UTC
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PD(0) è vera ; PD(n) => PD(n+1) è vera
----> allora PD(n) è vera per ogni n
ovvio che il gran salto cè : siamo saliti ad un livello
molto, molto piu alto
No ?
Se
1) P(0)
2) P(n) => P(n+1)
allora
Per ogni n: P(n)
Forse costruttivamente non è accettata la conclusione.
Da P(0)
applicando la (2)
P(0), P(0) => P(1)
e ci portiamo a casa P(1)
Ora, abbiamo P(1),
applichiamo di nuovo la (2)
P(1), P(1) => P(2)
e otteniamo anche P(2)
Proseguendo, in questo modo,
Per ogni n: P(n)
Forse perchè, i costruttivisti ammettono solo l'infinito potenziale e
dire "subito" Per ogni n: P(n) è come ammettere l'infinito attuale
(Vedi l'articolo di Genzen che ti ho indicato)
uh
beh allora ...
Uno come lui che senza colpo ferire ti spara che dopo tutti i
numeri naturali "cominciano" i transfiniti dubito possa farsi
amare dai costruttivisti/intuizionisti : infatti se non cè di
mezzo l'infinito attuale in quel concetto non cè da nessuna
parte.
Ti faccio rispondere direttamente da Gentzen stesso, che così
giustifica la costruttività anche dei Transfiniti (Almeno di quelli
"La preoccupazione che questa procedura sia non-costruttiva poichè
la concezione attualista di successione completa dei numeri naturali
già sembra entrare nella formazione di omega0, si rivela infondata.
Il concetto di infinito può, senza dubbio, essere qui interpretato
in modo potenziale dicendo, ad esempio: non importa quanto lontano
possiamo andare nella formazione costruttiva di nuovi numeri naturali,
il numero omega0 sta nella relazione n < omega0 con ogni tale numero
naturale n. E le successioni infinite che nascono nella formazione
di altri numeri ordinali dovrebbero essere interpretate precisamente
nello stesso modo."
http://www.cs.unibo.it/corsi/FolderDidattica/Dispense_on_line/Gentzen_infinito.pdf
non è tanto lungo ed è in un linguaggio chiarissimo.
l' ho letto, l' ho detto :-)
Quella frase che hai riportato, ossia n < omega0 per ogni n, è
precisa e affascinante ma (imho, s' intende) non "costruisce"
affatto omega0
Bè, dice che omega0 è maggiore di ogni n.
In qualche modo lo definisce.
E, non fa riferimento a TUTTI gli n:
dice, che puoi proseguire nella successione
potenziale dei numeri finiti e ... resti comunque
SOTTO omega0.
Per quanto io abbia letto (Parecchi libri e articoli su web)
non ho mai trovato una definizione di omega0 che non sia
quella: omega0 è il numero che viene dopo i numeri naturali.
D'altra parte, in matematica esiste tutto ciò che non produce
contraddizioni, e considerarli esistenti finora non ha
prodotto contraddizioni.

C'e' una spiegazione di Cantor stesso dell'esistenza dei
numeri transfiniti, che mi ha colpito molto e in qualche modo
mi ha convinto sulla sensatezza della definizione.
Per Cantor i numeri transfiniti sono come dei
NUOVI NUMERI IRRAZIONALI !!!
Infatti, funzionano in maniera molto simile.
(Sto parlando dei numeri transfiniti limite,
cioè quelli che vengono come limite di una successione
di infiniti numeri, come è il caso di omega0
(Omega0 + 1 , per es., e' un ordinale SUCCESSORE e non limite))
Considera un numero irrazionale come radice di 2.
La radice di 2 è il limite della successione di numeri razionali
per cui il loro quadrato è minore di 2.
Ebbene, sai che una successione che ha limite è composta da infiniti
termini.
Essa ha infiniti termini che si avvicinano a radice 2 senza mai
raggiungerla: ecco che il numero irrazionale radice 2 svolge
la stessa funzione, rispetto i numeri della successione, che svolge
omega0 rispetto ai numeri naturali.
Naturalmente nella successione verso radice 2 i numeri diventano
man mano sempre più vicini tra loro, mentre i numeri naturali sono
distribuiti uniformemente, ma per il resto ...
r***@gmail.com
2018-11-23 10:28:37 UTC
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Post by Giovanni
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Quella frase che hai riportato, ossia n < omega0 per ogni n, è
precisa e affascinante ma (imho, s' intende) non "costruisce"
affatto omega0
Bè, dice che omega0 è maggiore di ogni n.
In qualche modo lo definisce.
mutatis mutandis :

se io dico che in mezzo a 100 persone ce' un tizio piu alto
di tutti riesco a individuarlo perchè questo è appunto uno
di quelle persone. Ossia è una persona.

Ma se ti dico che esiste un bipede piu alto di ogni persona
di quelle 100 ti basterebbe a capire che bestia è ?

L' analogia è molto chiara

Consiglio : tanto di cappello alla matematica e ai matematici
per carità di Dio. Poi lo sai : io provo un sacro rispetto per
loro e per la loro scienza

Pero' usiamo anche la nostra testa, non beviamoci senza spirito
critico tutto quello che ci propinano

Per il resto : bellissimo. Davvero.
Giovanni
2018-11-23 11:28:40 UTC
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Quella frase che hai riportato, ossia n < omega0 per ogni n, è
precisa e affascinante ma (imho, s' intende) non "costruisce"
affatto omega0
Bè, dice che omega0 è maggiore di ogni n.
In qualche modo lo definisce.
se io dico che in mezzo a 100 persone ce' un tizio piu alto
di tutti riesco a individuarlo perchè questo è appunto uno
di quelle persone. Ossia è una persona.
Ma se ti dico che esiste un bipede piu alto di ogni persona
di quelle 100 ti basterebbe a capire che bestia è ?
L' analogia è molto chiara
Consiglio : tanto di cappello alla matematica e ai matematici
per carità di Dio. Poi lo sai : io provo un sacro rispetto per
loro e per la loro scienza
Pero' usiamo anche la nostra testa, non beviamoci senza spirito
critico tutto quello che ci propinano
Per il resto : bellissimo. Davvero.
Mettiamola in un altra maniera.
Prendiamo la numerazione in termini insiemistici:
1 = {0} = {∅}
2 = {0,1} = {∅, {∅}}
3 = {0,1,2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
ecc...
Come vedi possiamo dire che la rappresentazione
insiemistica di un numero è l'insieme dei numeri inferiori:

n = {m : m < n}

Ora, che numero è l'insieme:
{0,1,2,3,4,5,6} ?
ovviamente 7
Attenzione: che numero è l'insieme di TUTTI i numeri:
{0,1,2,3, ... n, ...} ?
lo definiamo omega0:
omega0 = {0,1,2,3, ... n, ...}

(Qui ho parlato di "TUTTI i numeri" che sembra implicare
un infinito in atto, ma, come visto Gentzen dice che si
può definire omega0 senza appellarsi a tutti i numeri.)
r***@gmail.com
2018-11-24 02:42:33 UTC
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Post by Giovanni
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Quella frase che hai riportato, ossia n < omega0 per ogni n, è
precisa e affascinante ma (imho, s' intende) non "costruisce"
affatto omega0
Bè, dice che omega0 è maggiore di ogni n.
In qualche modo lo definisce.
se io dico che in mezzo a 100 persone ce' un tizio piu alto
di tutti riesco a individuarlo perchè questo è appunto uno
di quelle persone. Ossia è una persona.
Ma se ti dico che esiste un bipede piu alto di ogni persona
di quelle 100 ti basterebbe a capire che bestia è ?
L' analogia è molto chiara
Consiglio : tanto di cappello alla matematica e ai matematici
per carità di Dio. Poi lo sai : io provo un sacro rispetto per
loro e per la loro scienza
Pero' usiamo anche la nostra testa, non beviamoci senza spirito
critico tutto quello che ci propinano
Per il resto : bellissimo. Davvero.
Mettiamola in un altra maniera.
1 = {0} = {∅}
2 = {0,1} = {∅, {∅}}
3 = {0,1,2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
ecc...
Come vedi possiamo dire che la rappresentazione
n = {m : m < n}
{0,1,2,3,4,5,6} ?
ovviamente 7
{0,1,2,3, ... n, ...} ?
omega0 = {0,1,2,3, ... n, ...}
(Qui ho parlato di "TUTTI i numeri" che sembra implicare
un infinito in atto, ma, come visto Gentzen dice che si
può definire omega0 senza appellarsi a tutti i numeri.)
bello, ma resta da vedere se l' insieme di tutti i numeri
è ancora un numero.

Forse non lo è

Giovanni
2018-11-05 14:15:32 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Si può dimostrare che si possono derivare solo tautologie.
Quindi una fbf non tautologica non è derivabile perciò
la coerenza.
Il punto è che se il sistema è INcoerente si puo' derivare
da esso QUALUNQUE fbf (questo accade in logica proposizionale)
Ma cio' non è possibile, dal momento che il sistema deriva
solo tautologie.
Ma non mi convince : QUEL sistema è stato costruito solo per
derivare tautologie. Quindi la coerenza dovrebbe essere dimostrata
tirando fuori una TAUTOLOGIA non derivabile ! Non una qualunque
fbf !
Indi per cui (imho) il libro sbaglia.
Se un sistema è contradditorio, incoerente, allora si può derivare
una QUALUNQUE fbf.
Per contrapposizione, se non si può derivare qualunque fbf allora
non è contradditorio.
Non c'entra se la fbf è una tautologia o no.

Siccome nel sistema si possono derivare solo tautologie, basta un esempio
di non tautologia per verificare la condizione.

Che ci sia una tautologia non derivabile è una condizione sufficiente
ma non necessaria.

Se esistesse una tautologia non derivabile allora il sistema sarebbe
semanticamente INCOMPLETO.
Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Un altro modo e' che, siccome si possono derivare solo tautologie,
quindi il sistema è coerente.
ecco, questa gia mi va giu molto meglio. Questa "mi suona" meglio,
per cosi dire.
r***@gmail.com
2018-11-05 15:22:47 UTC
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Post by Giovanni
Se un sistema è contradditorio, incoerente, allora si può derivare
una QUALUNQUE fbf.
Per contrapposizione, se non si può derivare qualunque fbf allora
non è contradditorio.
Non c'entra se la fbf è una tautologia o no.
E va bene. Lo dice il libro, tu lo confermi. Sarà cosi, santo Dio.

E allora devo dire che la cosa è (concettualmente) di una banalità
sconcertante

E quindi trasportando il tutto nell' aritmetica (con la logica del
primo ordine) basterebbe beccare anche la una fbf non dimostrabile
per dire che l' SA che descrive l' aritmetica è coerente.
JTS
2018-11-05 14:20:35 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by r***@gmail.com
Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
Non ho letto tuttissimo, ma non e' che stai confondendo coerenza con completezza? Se dimostri che esiste una tautologia non derivabile hai dimostrato che il sistema non e' completo. Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile hai dimostrato che il sistema e' coerente (do per scontato che in un sistema incoerente si possa derivare qualsiasi formula, questo dovrebbe essere il famoso "ex falso quodlibet").
JTS
2018-11-05 14:26:46 UTC
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Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile
Leggendo il messaggio di Giovanni, correggo:

"Se dimostri che c'e' una formula non derivabile"

(non serve che sia falsa!)
r***@gmail.com
2018-11-05 15:42:18 UTC
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Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
Non ho letto tuttissimo,
male fratello. Male :-)
Post by JTS
ma non e' che stai confondendo coerenza con completezza ?
no, assolutamente
Post by JTS
Se dimostri che esiste una tautologia non derivabile hai
dimostrato che il sistema non e' completo.
e ho dimostrato anche che è coerente : due piccioni con una
fava :-)
Post by JTS
Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile hai
dimostrato che il sistema e' coerente (do per scontato che
in un sistema incoerente si possa derivare qualsiasi
formula, questo dovrebbe essere il famoso "ex falso quodlibet").
e ho dimostrato anche che è incompleto :-)
Sempre due piccioni con una fava

Il fatto è che un sistema è completo se e solo se dimostra
OGNI fbf. Capisci ?

Invece qua, per la logica proposizionale, hanno forzato la
questione.

Ossia hanno fatto un SA che è necessariamente incompleto a
priori (dal momento che dimostra solo tautologie, e non ogni
fbf)

E allora grazie al cazzo che è coerente. Mi segui ? L' hanno
costruito A FORZA coerente. A calci e pugni.

E' come se tu costruissi un SA che descrive solo una parte
dell' aritmetica ma che al contempo tutte le sue fbf descrivono
ogni possibile asserzione sui numeri.

Ti verrebbe necessariamente coerente.

senza offesa, eh ! Ma :
Cè qualcosa che non va. Decisamente. Possibile che te e Giovanni
non riusciate a vederlo ? :-)
JTS
2018-11-05 16:08:12 UTC
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Post by Giovanni
Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
Non ho letto tuttissimo,
male fratello. Male :-)
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ma non e' che stai confondendo coerenza con completezza ?
no, assolutamente
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Se dimostri che esiste una tautologia non derivabile hai
dimostrato che il sistema non e' completo.
e ho dimostrato anche che è coerente : due piccioni con una
fava :-)
Post by JTS
Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile hai
dimostrato che il sistema e' coerente (do per scontato che
in un sistema incoerente si possa derivare qualsiasi
formula, questo dovrebbe essere il famoso "ex falso quodlibet").
e ho dimostrato anche che è incompleto :-)
Sempre due piccioni con una fava
E' solo un piccione. Hai scoperto che un sistema incompleto e' per forza coerente (cosa alla quale fino ad oggi non avevo mai pensato).

L'altro piccione e' il sistema completo. Non credo che un sistema completo debba dimostrare tutte le formule ben formate. Infatti la negazione di un assioma e' una formula ben formata, che pero' e' falsa.

Poi (senza averci pensato) che abbiano fatto un sistema di cui e' possibile mostrare la coerenza posso crederci (una cosa cosi' serve a fare passare per cosa pazzescamente sottile una cosa normale ;-) )
r***@gmail.com
2018-11-05 16:23:11 UTC
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Il primo esempio che mi viene è nel campo della geometria.
La cosiddetta Geometria assoluta ha gli stessi assiomi di quella
euclidea MENO il 5° assioma.
Tali assiomi hanno per modelli la Geometria iperbolica
e quella ellitica.
In una, non ricordo quale, la somma degli angoli di un triangolo
e' maggiore di 180, nell'altra è minore.
Ecco una fbf vera in uno e falsa nell'altro.
gia !
Intanto sto continuando a darci dentro. Mi daresti una mano ?
Ho appena finito di studiare la dimostrazione che la logica
proposizionale è coerente e completa. Diciamo che piu o meno
ho capito, pero' ... Mi sono venuti un sacco di dubbi :-)
Intanto ho compreso una cosa fondamentale : ogni sistema
assiomatico fa storia A SE, e percio' tutto questo che sto
per dire funziona specificatamente e precisamente solo nell'
ambito della logica PROPOSIZIONALE.
Prima di tutto ti riporto qui (in sintesi) la dimostrazione
per tua comodità e per "allinearci" col linguaggio cosi da
capirci meglio.
Tanto per cominciare la logica proposizionale è stata a sua
volta assiomatizzata in questo modo : un insieme di lettere
(che sarebbero per cosi dire le "proposizioni elementari"
o se preferisci "atomiche") in numero infinito e ovviamente
numerabile. Lo chiamo P.
Poi un insieme (piccolo) di regole di deduzione (sai, tipo
il modus ponens, l' eliminazione ecc)
Infine un gruppetto (4, nel libro) di tautologie che sono
gli assiomi.
si vuole che il sistema derivi tutte (e sole) le altre
possibili tautologie a partire da quelle date come assiomi e
usando le regole deduttive.
Queste regole deduttive (lo si dimostra facilmente) se
correttamente applicate producono solo nuove tautologie.
Non possono (e non debbono) produrre fbf che NON sono tautologie
perchè senno' il sistema ovviamente fallirebbe : tutto questo
cinematografo infatti serve a produrre un sistema che derivi
tutte e sole le tautologie
se il sistema fosse incoerente sarebbe in grado di derivare ogni
fbf
(questa cosa si dimostra in modo facilissimo ma IN QUESTO PRECISO
AMBITO)
Ma questo non è possibile, dal momento che ad es. A and B con A
e B qualunque appartenenti a P è una fbf e NON E' (ovviamente) una
tautologia quindi (per quanto stabilito sopra) NON PUO' essere
derivata dagli assiomi.
Allora il sistema è coerente, perchè se non lo fosse la A and B
dovrebbe poter essere anch' essa derivabile.
Facile. Limpido. Cristallino. Elegante. Affascinante.
Ma in realtà sotto sotto non ho capito un tubo. Perchè ? Perchè
allora prendiamo il sistema assiomatico che serve a descrivere
N.
Per dimostrarne la coerenza (lascia perdere la completezza) allora
anche qui sarebbe sufficiente trovare una fbf non derivabile.
Ossia una asserzione qualunque sui numeri che non è derivabile
dagli assiomi
Possibile, dico io, che la cosa sia COSI CONCETTUALMENTE FACILE ??
(attenzione : altro discorso è trovarla quella fbf non derivabile,
intendiamoci)
Fammi sapere
io m' aspettavo che per dimostrarne la coerenza (della logica
proposizionale) dovesse essere necessario dimostrare il fatto che
almeno UNA TAUTOLOGIA non fosse derivabile.
Non ho letto tuttissimo,
male fratello. Male :-)
Post by JTS
ma non e' che stai confondendo coerenza con completezza ?
no, assolutamente
Post by JTS
Se dimostri che esiste una tautologia non derivabile hai
dimostrato che il sistema non e' completo.
e ho dimostrato anche che è coerente : due piccioni con una
fava :-)
Post by JTS
Se dimostri che c'e' una formula falsa non derivabile hai
dimostrato che il sistema e' coerente (do per scontato che
in un sistema incoerente si possa derivare qualsiasi
formula, questo dovrebbe essere il famoso "ex falso quodlibet").
e ho dimostrato anche che è incompleto :-)
Sempre due piccioni con una fava
E' solo un piccione.
no, so' due.

Se dimostri che è incompleto dimostri pure che è coerente.

Se dimostri che è coerente dimostri pure che è incompleto

Ma questa ultima affermazione ERA vera fintanto che credevo
che un sistema è completo se (e solo se) dimostra tutte le
sue fbf.
Post by JTS
Non credo che un sistema completo debba dimostrare tutte le
formule ben formate. Infatti la negazione di un assioma e'
una formula ben formata, che pero' e' falsa.
giusto, giusto

Ok, m' avete convinto :-)
Giovanni
2018-11-06 08:42:16 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by JTS
E' solo un piccione.
no, so' due.
Se dimostri che è incompleto dimostri pure che è coerente.
Se dimostri che è coerente dimostri pure che è incompleto
Ma questa ultima affermazione ERA vera fintanto che credevo
che un sistema è completo se (e solo se) dimostra tutte le
sue fbf.
Post by JTS
Non credo che un sistema completo debba dimostrare tutte le
formule ben formate. Infatti la negazione di un assioma e'
una formula ben formata, che pero' e' falsa.
giusto, giusto
Ok, m' avete convinto :-)
La giusta definizione di sistema completo è:
un sistema è completo se per ogni fbf,
o la fbf stessa o la sua negazione è un suo teorema.
E, naturalmente, SOLO UNA delle due è derivabile.
Per la precisione, questa è la completezza SINTATTICA.
C'è anche la completezza SEMANTICA:
un sistema è SEMANTICAMENTE COMPLETO se ogni tautologia
è un suo teorema.
Siccome abbiamo visto che ci sono fbf (Anche molto banali)
che ne la fbf ne la sua negazione sono teoremi,
allora possiamo dire che la logica delle proposizioni
è sintatticamente incompleta e semanticamente completa.
Che sia sintatticamente incompleta non è che c'interessa
molto, l'importante è che sia semanticamente completa.
Quest'ultima cosa significa che sono derivabili delle
verità logiche, tipo il teorema di De Morgan e le diverse
proprietà importanti della logica proposizionale.
Importante è ci sono così 2 modi per verificare se una fbf
è un teorema:
1) Il metodo delle Tavole di verità
2) Il calcolo logico mediante l'applicazione delle
regole di inferenza.
r***@gmail.com
2018-11-05 16:40:57 UTC
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Post by JTS
Poi (senza averci pensato) che abbiano fatto un sistema di cui
e' possibile mostrare la coerenza posso crederci (una cosa cosi'
serve a fare passare per cosa pazzescamente sottile una cosa
normale ;-) )
gia

un' altra cosa : te l' ho mai detto che sei un bel po' simpatico ?
No ? Ebbè te lo dico adesso, allora. Sul serio, sei forte ;-)

Un abbraccio e grazie per l' aiuto.
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