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Secondo Grado. Diagrammi a Ombrello e Equazioni Corrispondenti
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elreg
2018-11-02 19:48:27 UTC
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Alle date 19/12/17 e 21/12/17 risultano a mio nome due post dal titolo "Soluzione Grafica di Equazione di Secondo Grado ...". Essi propongono la definizione del "diagramma a ombrello" e la corrispondente formula risolutiva per il caso reale e per il caso complesso. Nel caso reale ci si riferiva a un diagramma cartesiano a due dimensioni mentre nel caso complesso il riferimento era un piano di Argand. Era interessante notare che la forma dei due grafici era identica ma anche che la sovrapposizione dei due piani Cartesio / Argand (a parità di assi e scale) non comportava alcuna ambiguità perchè il grafico corrispondente a una equazione complessa aveva come asse di simmetria l'asse delle ascisse mentre nel caso reale l'asse di simmetria era la bisettrice dell'angolo formato dai due assi delle coordinate (credo che i matematici lo chiamino asse neutro). In definitiva, per passare da un grafico corrispondente a un'equazione complessa a uno di un'equazione reale si doveva ruotare il primo in senso antiorario di 45°.
Sorgeva allora il problema: Data un'equazione complessa y^2 + b2y + b3 = 0 è possibile (senza risolvere l'equazione) trovare una e una sola equazione reale
x^2 + a2x + a3 = 0 tale che il suo diagramma a ombrello si possa ottenere da quello complesso con una rotazione antioraria di 45° ? E' possibile, come pure il problema inverso (reale/complesso).
A mio avviso, la esistenza della possibilità potrebbe consentire di semplificare alcuni problemi.
Mi propongo di comunicare quanto prima le formule necessarie.
Buona sera ai gentili (e pazienti) lettori.
Elreg
elreg
2018-11-27 12:51:24 UTC
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Post by elreg
Mi propongo di comunicare quanto prima le formule necessarie.
Buona sera ai gentili (e pazienti) lettori.
Elreg
Ecco le formule necessarie:

Data l'equazione reale A: x^2 + a2*x + a3 = 0
l'equazione complessa corrispondente è:
B: y^2 + radq(2)*a2*y + a2^2 - 2*a3 = 0

Analogamente, data l'equazione complessa:
B : y^2 + b2*y + b3 = 0
l'equazione reale corrispondente è:
A : x^2 + (b2/radq(2))*x + (1/4)*((b2^2) - 2*b3 = 0.

In quanmto sopra chiamiamo come "corrispondenti" una coppia di
equazioni reale (A) e complessa (B) quando i parametri (R;phi)
di (A) sono identici ai corrispondenti parametri (rho;psi) di (B).

I diagrammi a ombrello corrispondenti a (A) e (B) si sovrapporranno
l'uno all'altro con una rotazione di 45° intorno all'origine degli
assi nei due piani sovrapposti Argand (per (B)) e Elreg (per (A).

Il principio di equivalenza sopra descritto si potrebbe rivelare utile
in qualche considerazione teorica e forse anche in alcuni problemi
di calcolo.

Ossequi da Elreg.
elreg
2018-11-29 15:11:10 UTC
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Ecco come si calcolano le formule:
Perchè le equazioni A e B siano corrispondenti deve essere:
(1) R = rho; (2) cos(phi) = cos(psi)
con R, phi raggio e fase di A; rho, psi modulo e fase (della soluzione) di B.
Dalla (1) segue a2^2 - 2*a3 = b3 ; dalla (2) a2*radq(2) = b2, ricordando la(1).
Se nota la equazione A (reale) si vuole ottenere la B (complessa) le equazioni scritte sono quelle volute. Se da B si vuole ottenere A si deve risolvere il sistema delle due equazioni per ottenere dalle A le B già fornite in precedenza pur di chiudere opportunamente, nella seconda (e prima dello zero) la parentesi aperta. Errata: ...-2*b3=0 , Corrige: ...-2*b3)=0.
Ciao
Elreg

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