Discussione:
Giochino 72: quadrilatero
(troppo vecchio per rispondere)
El Filibustero
2020-12-18 14:37:48 UTC
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Dimostrare che se in un quadrilatero convesso esiste un punto interno
tale che congiungendolo con i vertici si divide il quadrilatero in
quattro triangoli equivalenti, allora il quadrilatero e' un
parallelogramma. Ciao
Socratis T.n.p.
2020-12-18 19:22:37 UTC
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Post by El Filibustero
Dimostrare che se in un quadrilatero convesso esiste un punto interno
tale che congiungendolo con i vertici si divide il quadrilatero in
quattro triangoli equivalenti, allora il quadrilatero e' un
parallelogramma.
Come si fa a dimostrare Una, Lampante Verità ?
Sarebbe una contorsione mentale, che appartiene alle Scimmie.
E poi chi ti dimostra che sia vero, il procedimento che la Dimostra ??

5^2 + 7^2 = (2 * 35)+2^2 = 74m^2

5^3 + 7^3 = 12 * (35 + 2^2)= 468m^3

==> 1 * 10 = 10dm*100dm ===== 1000i^2=10m^2
0.1* 1 * 10 = 1dm*10dm*100dm = 1000i^3 = 1m^3.

Vedi se ti riesce di dimostrarlo...Magari poi lo potresti, anche Capire...
La Verità, é, e basta, è sufficiente capirla per distinguere il giusto
dall ' ingiusto. Le cose, sono giuste, solo se funzionano bene -:))

Buon Natale da Socratis T.n.p.
Elio Fabri
2020-12-19 10:40:51 UTC
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Post by El Filibustero
Dimostrare che se in un quadrilatero convesso esiste un punto
interno tale che congiungendolo con i vertici si divide il
quadrilatero in quattro triangoli equivalenti, allora il
quadrilatero e' un parallelogramma. Ciao
Mi sembra molto semplice.
Siano A,B,C,D i 4 vertici, O il punto interno.
Consideriamo i triangoli OAB e OBC, che sono equivalenti.
Dato che hano in comune il lato OB, le altezze relative a qeusto lato
debbono essere uguali.
In altre parole, A e C aono equidistanti dalla retta OB.
Ne segue che questa retta biseca il segmento AC.

Ripetiamo il discorso per i triangoli OCD e ODA: troviamo che anche la
retta OD biseca il segmento AC, il che implica che OB e OD sono la
stessa retta, quindi che la diagonale BD biseca l'altra diagonale.

Con lo stesso ragionamento sui triangoli OBC e OCD ecc. si ricava che
anche la diagonale AC biseca la BD.
Se le due diagonali si bisecano, il quadrilatero è un parallelogrammo,
cvd.
--
Elio Fabri
Socratis T.n.p.
2020-12-20 22:51:28 UTC
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Il giorno sabato 19 dicembre 2020 alle 11:41:17 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:

Mi dispiace per Loro, ma ancora di più mi dispiace per i Loro Allievi.
Il sistema T.d.i. é strutturato per distinguere i m^2 dai m^3, m^4, ecc.
Tuttavia il calcolatore Non specifica, se trattasi di m*2 o, m^3, Ma è
il Matematico a doverlo capire , ma soprattutto insegnare agli Allievi.

Se lo facessero, Tutti, potrebbero capire il sistema per fare i loro conti.
Per questo ho definito i numeri piccoli che sono molto importanti per
Capire ; quadrati e volumi < 1m. 1dm = i, 1cm = o, 1mm = (•)...
Con questi n, 1, piccoli, posso cominciare da qualsiasi 1 piccolo :

es (•) : [ 0.001 * 1000 ] = 1, ma qui nasce la prima complicazione sul
significato, sia di 0.001= 1mm, e sia sul significato di 1000, infatti ...
1000 potrebbe essere 1000mm, oppure 1000m... perché se fosse la
prima si avrebbe 1mm * 1000mm = 1m.Lineare, mentre :
se, fosse 0.001 = 1Litro, allora si avrebbe 1.litro * 1000.litri = 1m^3.

Per quanto mi riguarda è la seconda che ho scritto visto che i^3= 1.L.
Ma in questa ipotesi Sareste Voi ad arrancare visto che direste :
i^3= 0.001, e 0.001^3 ==> 0.000'000'0001= 1mg.

Purtroppo, Voi, neanche considerate, i volumi piccoli, né i quadrati.p.,
né il lineare, né piccolo, né grande. Complimenti e buon Natale -:))

Spero che i Giovani siano più intelligenti e capiscano da soli che :
===> i *1 = 10o *100o = 1000o^2 = 0.1m^2, come ;
o *i *1= o *10o *100o = 1000o^3 = 1kg. 1kg. Come ;
i*i*1=10o *10o *100o = 10'000o^3=10kg. 10.L.

Socratis T.n.p.
effe
2020-12-21 07:31:54 UTC
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Post by Elio Fabri
In altre parole, A e C aono equidistanti dalla retta OB.
Ne segue che questa retta biseca il segmento AC.
nel punto M
Post by Elio Fabri
Ripetiamo il discorso per i triangoli OCD e ODA: troviamo che anche la
retta OD biseca il segmento AC,
Ancora nel punto M
Post by Elio Fabri
il che implica che OB e OD sono la
stessa retta,
infatti per due punti O ed M passa una sola retta.
Post by Elio Fabri
quindi che la diagonale BD biseca l'altra diagonale.
Con lo stesso ragionamento sui triangoli OBC e OCD ecc. si ricava che
anche la diagonale AC biseca la BD.
No. Si ricava che la retta CO biseca la diagonale BD ma non è affatto
detto che la retta CO sia la diagonale AC perché si presuppone che O
coincida con M. A una prima lettura mi era sfuggito e mi chiedevo come
mai una conclusione logica dovesse lasciare spazio per altre figure. Il
fatto è che il punto O può essere diverso da M come succede nel caso
dell'aquilone o delle tre parallele di cui si è discusso poi.
Elio Fabri
2020-12-21 11:07:09 UTC
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Post by effe
No. Si ricava che la retta CO biseca la diagonale BD ma
...
Ti ringrazio della risposta. Avevo già capito che il mio ragionamento
era errato, ma credo che la ragione sia diversa da quella che dici.
Avevo cominciato a scrivere una correzione, poi ho lasciato perdere.

Anche perché nel frattempo ho trovato una soluzione molto più
semplice.
Non ho seguito gli altri interventi, quindi non so se ripeterò cose
già dette.
Procederei così.

Prediamo A e C a piacere, e sia O il punto medio.
Tracciamo due parallele alla AC, situate da parti opposte ed
equidistanti dalla AC.
Scegliamo a piacere due punti B e D su queste rette.
E' immediato dimostrare che i 4 triangoli OAB, OBC, OCD, ODA sono
equivalenti.
E questa è la soluzione più generale.

Se BC passa per O si ha un parallelogrammo.
Se BC è perp. ad AC si ha l'aquilone.
Se sono vere entrambe le cose si ha un rombo, che è insieme
parallelogrammo e aquilone.

Nota. Se prendiamo B e D del tutto a caso non è detto che il quadr.
sia convesso. Per averlo convesso, scelto B ad libitum, D va preso in
un segmento che è facile determinare.
--
Elio Fabri
effe
2020-12-21 12:21:58 UTC
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Post by Elio Fabri
Ti ringrazio della risposta. Avevo già capito che il mio ragionamento
era errato, ma credo che la ragione sia diversa da quella che dici.
E invece è proprio l'unico punto che inficiava il tuo ragionamento.
Post by Elio Fabri
Non ho seguito gli altri interventi, quindi non so se ripeterò cose
già dette.
Questo, però, non è proprio corretto. Vedo una vena di snobbismo :-)
Post by Elio Fabri
Procederei così.
Prediamo A e C a piacere, e sia O il punto medio.
Tracciamo due parallele alla AC, situate da parti opposte ed
equidistanti dalla AC.
Scegliamo a piacere due punti B e D su queste rette.
E' immediato dimostrare che i 4 triangoli OAB, OBC, OCD, ODA sono
equivalenti.
E questa è la soluzione più generale.
Se BC passa per O si ha un parallelogrammo.
Se BC è perp. ad AC si ha l'aquilone.
Ok, hai scritto BC ma intendevi BD
Post by Elio Fabri
Se sono vere entrambe le cose si ha un rombo, che è insieme
parallelogrammo e aquilone.
Nota. Se prendiamo B e D del tutto a caso non è detto che il quadr.
sia convesso. Per averlo convesso, scelto B ad libitum, D va preso in
un segmento che è facile determinare.
Mi sembra un'ottima sintesi. Nella sostanza, anche se non ha parlato
espressamente di rombo, è quello che ha scritto Yoda in un paio di post.
Yoda
2020-12-19 12:37:27 UTC
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Post by El Filibustero
Dimostrare che se in un quadrilatero convesso esiste un punto interno
tale che congiungendolo con i vertici si divide il quadrilatero in
quattro triangoli equivalenti, allora il quadrilatero e' un
parallelogramma. Ciao
L'aquilone non e' un parallelogramma.

(un esempio veloce: con gli angoli 120, 90, 60, 90 e dunque lati
a, a sqrt(3), a, a sqrt(3) il punto medio della diagonale maggiore
[lunga 2 a] determina 4 triangoli equivalenti)
--
bye, Yoda
El Filibustero
2020-12-19 12:43:37 UTC
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Post by Yoda
Post by El Filibustero
Dimostrare che se in un quadrilatero convesso esiste un punto interno
tale che congiungendolo con i vertici si divide il quadrilatero in
quattro triangoli equivalenti, allora il quadrilatero e' un
parallelogramma. Ciao
L'aquilone non e' un parallelogramma.
Ooops, vero, c'e' anche questo caso eccezionale. Ciao
Yoda
2020-12-20 07:22:51 UTC
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Post by El Filibustero
Post by Yoda
Post by El Filibustero
Dimostrare che se in un quadrilatero convesso esiste un punto interno
tale che congiungendolo con i vertici si divide il quadrilatero in
quattro triangoli equivalenti, allora il quadrilatero e' un
parallelogramma. Ciao
L'aquilone non e' un parallelogramma.
Ooops, vero, c'e' anche questo caso eccezionale. Ciao
Non e' il solo aquilone che ho scritto ieri (120, 90, 60, 90 gradi),
ma son tutti gli aquiloni.. e non solo essi, guarda:

[ascii art: usare caratteri fissi]

-------*--------------------------------------- r1
D | \
| \
| \
-------*---------*--------*-------------------- r2
A \ M / B
\ /
\ /
-----------*----------------------------------- r3
C

Direi che l'eccezione (o meglio: il caso particolare) e' quella dei
parallelogrammi: se DAB e CBA (oppure ABD e ACB) son retti entrambi.

(r2 dista lo stesso da r1 e da r3; il punto interno richiesto e' il
punto medio di AB; C scorre su r3 e D su r1 ma a patto di mantenere
convesso il quadrilatero ACBD; le tre rette sono parallele)


Postilla. IMHO il punto esiste anche per i trapezi.. anzi: per
/ogni/ quadrilatero convesso. Pero' adesso questo lo dico solo
a sentimento eh.
("sentimento" fino a un certo punto.. Erone e somma_aree uguale
area_quadrilatero son quattro equazioni nelle quattro incognite
distanze del punto cercato dai vertici; il tutto da fare in geo
analitica.. ne vien fuori proprio una brutta bestia, sempre che
le quattro equazioni siano indipendenti)
--
bye, Yoda
effe
2020-12-20 09:38:07 UTC
Permalink
Post by Yoda
[ascii art: usare caratteri fissi]
-------*--------------------------------------- r1
D | \
| \
| \
-------*---------*--------*-------------------- r2
A \ M / B
\ /
\ /
-----------*----------------------------------- r3
C
Direi che l'eccezione (o meglio: il caso particolare) e' quella dei
parallelogrammi: se DAB e CBA (oppure ABD e ACB) son retti entrambi.
(r2 dista lo stesso da r1 e da r3; il punto interno richiesto e' il
punto medio di AB; C scorre su r3 e D su r1 ma a patto di mantenere
convesso il quadrilatero ACBD; le tre rette sono parallele)
Non vedo bene la figura che hai disegnato. Ho cercato di capire dal
testo e di costruirmi una figura in questo modo:
Circonferenza di centro O che interseca l'asse y in A (in basso) e C (in
alto).
Tre rette parallele all'asse x passanti per O, A e C.
Dovunque si prendano i punti B e D sulla retta r(O), col punto P medio
tra B e D le aree dei quattro triangoli con vertice in P, A, B, C e D
sembrano equivalenti.
Credo avvenga anche se il quadrilatero non è convesso.
effe
2020-12-20 09:44:38 UTC
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Post by effe
Credo avvenga anche se il quadrilatero non è convesso.
Forse il parallelogrammo è proprio l'eccezione, che si verifica quando P
coincide col punto O, incontro delle diagonali.
Yoda
2020-12-20 11:17:11 UTC
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Post by effe
Post by effe
Credo avvenga anche se il quadrilatero non è convesso.
Si', ma il testo prende in considerazione solo quelli convessi.
Post by effe
Forse il parallelogrammo è proprio l'eccezione, che si verifica quando P
coincide col punto O, incontro delle diagonali.
Secondo me non va bene parlare d'eccezioni, ma di casi particolari.
Il caso generale, nello schema delle tre rette parallele, ha i casi
particolari (aquiloni e //grammi) quando c'e' qualche simmetria ciao
--
Yoda
effe
2020-12-20 11:45:08 UTC
Permalink
Post by Yoda
Secondo me non va bene parlare d'eccezioni, ma di casi particolari.
Il caso generale, nello schema delle tre rette parallele, ha i casi
particolari (aquiloni e //grammi) quando c'e' qualche simmetria ciao
Sono d'accordo. Anche perché coi trapezi non funziona.
Aggiungo che il parallelogrammo è un caso particolare
nel caso particolare delle tre rette parallele. Resta valido il fatto
che, in generale, il quadrilatero che soddisfa il teorema è un
parallelogrammo. Ciao
Yoda
2020-12-20 12:18:13 UTC
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Post by effe
Post by Yoda
Secondo me non va bene parlare d'eccezioni, ma di casi particolari.
Il caso generale, nello schema delle tre rette parallele, ha i casi
particolari (aquiloni e //grammi) quando c'e' qualche simmetria ciao
Sono d'accordo. Anche perché coi trapezi non funziona.
Si', ho appena verificato anch'io che coi trapezzi non c'e'
soluzione e dunque, a fortiori, neppure con un quadrilatero
convesso generico.
Post by effe
Aggiungo che il parallelogrammo è un caso particolare
nel caso particolare delle tre rette parallele. Resta valido il fatto
che, in generale, il quadrilatero che soddisfa il teorema è un
parallelogrammo. Ciao
Non ti capisco sai, perche' altrettanto male potrebbe dirsi:
<<Resta valido il fatto che, in generale, il quadrilatero che
soddisfa il teorema è un aquilone>> ciao
--
Yoda
effe
2020-12-20 12:37:54 UTC
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Post by Yoda
Post by effe
Aggiungo che il parallelogrammo è un caso particolare
nel caso particolare delle tre rette parallele. Resta valido il fatto
che, in generale, il quadrilatero che soddisfa il teorema è un
parallelogrammo. Ciao
<<Resta valido il fatto che, in generale, il quadrilatero che
soddisfa il teorema è un aquilone>> ciao
Penso che hai ragione. Ho sbagliato in un altro post a dire che, forse,
il parallelogramma era proprio una eccezione perché non è vero. E poi,
spinto dalla voglia di correggere l'errore ho sbagliato a dire che, in
generale, il quadrilatero che soddisfa il teorema è un parallelogrammo
perché non è vero. Ti ringrazio della giusta correzione. Ciao
effe
2020-12-20 09:56:37 UTC
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Post by effe
Dovunque si prendano i punti B e D sulla retta r(O), col punto P medio
tra B e D le aree dei quattro triangoli con vertice in P, A, B, C e D
sembrano equivalenti.
No è che sembrano uguali. Sono uguali perché le basi sono uguali a BD/2
e le altezze sono la distanza tra le parallele che sono uguali.
El Filibustero
2020-12-20 09:57:33 UTC
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Post by Yoda
Post by El Filibustero
Post by Yoda
L'aquilone non e' un parallelogramma.
Ooops, vero, c'e' anche questo caso eccezionale. Ciao
Non e' il solo aquilone che ho scritto ieri (120, 90, 60, 90 gradi),
ma son tutti gli aquiloni.. e non solo essi,
Esatto, succede ogni volta che una diagonale passa per il punto medio
dell'altra.
Post by Yoda
Postilla. IMHO il punto esiste anche per i trapezi.. anzi: per
/ogni/ quadrilatero convesso.
Da escludere. Ciao
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