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deltas e mnemonic
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ngs
2018-11-07 01:59:13 UTC
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Perché mi cadono tutti sul "questo è solo un mnemonic per ricordare le
formule?".
Grinfeld per es. introduce l'equivalenza
delta^{ij}_{rs} = d^i_r d^j_s - d^i_s d^j_r
e dice che questa può essere espressa come un determinante ma che
"there's no particular significance for the determinant appearing here;
it's just a very good mnemonic device for remembering this formula". ???
Non è ovvio che la formula dice
"quando i=r e j=s restituisci 1;
quando i=s e j=r restituisci -1;
se gli indici hanno valori ripetuti restituisci 0;
se un valore appare solo negli indici inferiori (o superiori)
restituisci 0"?
Questo non è altro che il determinante con i delta e vale per ogni n!

Kiuhnm
Giorgio Bibbiani
2018-11-07 06:08:49 UTC
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Post by ngs
Perché mi cadono tutti sul "questo è solo un mnemonic per ricordare le
formule?".
Grinfeld per es. introduce l'equivalenza
  delta^{ij}_{rs} = d^i_r d^j_s - d^i_s d^j_r
e dice che questa può essere espressa come un determinante ma che
"there's no particular significance for the determinant appearing here;
it's just a very good mnemonic device for remembering this formula". ???
Non è ovvio che la formula dice
  "quando i=r e j=s restituisci 1;
   quando i=s e j=r restituisci -1;
   se gli indici hanno valori ripetuti restituisci 0;
   se un valore appare solo negli indici inferiori (o superiori)
restituisci 0"?
Questo non è altro che il determinante con i delta e vale per ogni n!
Premesso che non so esattamente cosa scriva Grinfeld
e che non sono in grado di indovinare le sue
intenzioni ;-),vorrei mettere in risalto la più
ampia portata del simbolo delta^{ij}_{rs}: non
è solo un determinante (qui funzione reale di
quaterne di naturali) ma è una notazione che
rappresenta le componenti (in tutte le basi)
di un tensore (detto di permutazione).
Comunque nel caso di un tensore di permutazione
di diverso ordine verrebbe anche a cadere
l'analogia con i determinanti, ad es.
delta^{ijk}_{rst} non si potrebbe associare
al calcolo di un determinante.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
ngs
2018-11-07 12:36:14 UTC
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Post by Giorgio Bibbiani
Post by ngs
Perché mi cadono tutti sul "questo è solo un mnemonic per ricordare le
formule?".
Grinfeld per es. introduce l'equivalenza
   delta^{ij}_{rs} = d^i_r d^j_s - d^i_s d^j_r
e dice che questa può essere espressa come un determinante ma che
"there's no particular significance for the determinant appearing
here; it's just a very good mnemonic device for remembering this
formula". ???
Non è ovvio che la formula dice
   "quando i=r e j=s restituisci 1;
    quando i=s e j=r restituisci -1;
    se gli indici hanno valori ripetuti restituisci 0;
    se un valore appare solo negli indici inferiori (o superiori)
restituisci 0"?
Questo non è altro che il determinante con i delta e vale per ogni n!
Premesso che non so esattamente cosa scriva Grinfeld
e che non sono in grado di indovinare le sue
intenzioni ;-),vorrei mettere in risalto la più
ampia portata del simbolo delta^{ij}_{rs}: non
è solo un determinante (qui funzione reale di
quaterne di naturali) ma è una notazione che
rappresenta le componenti (in tutte le basi)
di un tensore (detto di permutazione).
Comunque nel caso di un tensore di permutazione
di diverso ordine verrebbe anche a cadere
l'analogia con i determinanti, ad es.
delta^{ijk}_{rst} non si potrebbe associare
al calcolo di un determinante.
Perché no? E' il determinante di
d^i_r d^i_s d^i_t
d^j_r d^j_s d^j_t
d^k_r d^k_s d^k_t
Nota come il determinante contiene tutti i termini del tipo
sign(p) d^i_{p(r)} d^j_{p(s)} d^k_{p(t)}
che si legge come "quando i=p(r), j=p(s) e k=p(t), restituisci sign(p)".
Inoltre è facile vedere che è 0 quando deve esserlo.

Per es. consideriamo
d^{521}_{152}
L'unico termine non nullo del determinante è
d^i_s d^j_t d^k_r
poiché, appunto, "i=s & j=t & k=r". Il segno è proprio quello della
permutazione p t.c.
i=p(r) & j=p(s) & k=p(t).
In effetti, dire che le permutazioni su ijk ed rst hanno lo stesso segno
è equivalente a dire che rst dista da ijk di una permutazione pari,
quindi gli ijk si possono immaginare fissi e il segno viene dagli rst,
proprio come nel determinante.
Nota che se un valore fosse ripetuto si otterrebbe 0 perché si avrebbe
che il risultato è il negativo di sé stesso. Se invece un valore
apparisse in ijk ma non in rst o viceversa, allora tutti i termini
conterrebbero un d^a_b nullo.
Per es.
d^{518}_{528} = 0
perché d^j_r = d^j_s = d^j_t = 0 e ogni prodotto deve contenere uno di
questi termini (la matrice ha una riga nulla).

Kiuhnm
Giorgio Bibbiani
2018-11-07 13:15:43 UTC
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Il 07/11/2018 13:36, ngs ha scritto:
...
Post by ngs
Post by Giorgio Bibbiani
delta^{ijk}_{rst} non si potrebbe associare
al calcolo di un determinante.
Perché no?
Mah, ci credi che adesso non mi ricordo nemmeno _perché_
avessi fatto quella affermazione apodittica? Mi sembrava
così, ma evidentemente avevo fatto qualche (s)ragionamento
sbagliato...

E' il determinante di
Post by ngs
  d^i_r  d^i_s   d^i_t
  d^j_r  d^j_s   d^j_t
  d^k_r  d^k_s   d^k_t
Grazie mille per la correzione!

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
ngs
2018-11-07 15:04:36 UTC
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Post by Giorgio Bibbiani
Premesso che non so esattamente cosa scriva Grinfeld
e che non sono in grado di indovinare le sue
intenzioni ;-),vorrei mettere in risalto la più
ampia portata del simbolo delta^{ij}_{rs}: non
è solo un determinante (qui funzione reale di
quaterne di naturali) ma è una notazione che
rappresenta le componenti (in tutte le basi)
di un tensore (detto di permutazione).
Questo mi pare segua direttamente dalla definizione mediante il
determinante, infatti
d^i_j = Z^{ik} Z_{kj}
dove Z_{kj} è il tensore metrico e Z^{ik} il suo inverso.
Allora d^i_j è un tensore e quindi lo è anche d^{ijk...}_{rst...} visto
che tutti i termini del determinante contengono gli stessi indici nelle
stesse posizioni (su o giù) e quindi le matrici Jacobiane si possono
raccogliere.
Concordi?

Kiuhnm
Giorgio Bibbiani
2018-11-07 17:37:04 UTC
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Post by ngs
Post by Giorgio Bibbiani
Premesso che non so esattamente cosa scriva Grinfeld
e che non sono in grado di indovinare le sue
intenzioni ;-),vorrei mettere in risalto la più
ampia portata del simbolo delta^{ij}_{rs}: non
è solo un determinante (qui funzione reale di
quaterne di naturali) ma è una notazione che
rappresenta le componenti (in tutte le basi)
di un tensore (detto di permutazione).
Questo mi pare segua direttamente dalla definizione mediante il
determinante, infatti
  d^i_j = Z^{ik} Z_{kj}
dove Z_{kj} è il tensore metrico e Z^{ik} il suo inverso.
Allora d^i_j è un tensore e quindi lo è anche d^{ijk...}_{rst...} visto
che tutti i termini del determinante contengono gli stessi indici nelle
stesse posizioni (su o giù) e quindi le matrici Jacobiane si possono
raccogliere.
Concordi?
Sì, se intendi che una volta dimostrato che d^i_j è un tensore,
dato che d^{ijk}_{rst} si esprime come c.l. di prodotti di
tensori del tipo d^i_j con gli stessi indici nelle stesse
posizioni allora deve essere un tensore.
Mi sembra però preferibile, per generalità, definire,
come possibile, d^i_j e gli altri tensori di permutazione
senza dover necessariamente introdurre una struttura
metrica sullo spazio vettoriale.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
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