Uguaglianza dei prodotti di due matrici

[GiovanniC]

Salve a tutti
propongo un semplice esercizio:
Sia datala matrice A=((4,0),(1,1)) trovare la matrice B tale che:
AB=BA

Alcune matrici che soddisfano l'uguaglianza, ad esempio la matrice identità e la matrice nulla.
Gradirei altre indicazioni.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[viustel]

Post by GiovanniC
Salve a tutti

immagino che A sia data per righe.

Post by GiovanniC
AB=BA
Alcune matrici che soddisfano l'uguaglianza, ad esempio la matrice identità e la matrice nulla.
Gradirei altre indicazioni.

anche A commuta con A, ovviamente.

inoltre, prova con:

2 0
1 -1

[superpollo]

Post by GiovanniC
Salve a tutti
AB=BA
Alcune matrici che soddisfano l'uguaglianza, ad esempio la matrice identità e la matrice nulla.
Gradirei altre indicazioni.

la condizione data, applicata a una matrice generica B, equivale a un
sistema lineare 4x4 nei coefficienti di B, di rango 2, risolvendo il
quale si trova, usando la tua notazione:

B = ((4h,0),(h+k,h-3h))

\bye
--
|-----------1^2
|
|
|
-1-------------|------------ +1
|
|
|
(-1)^2--------|

[superpollo]

Post by superpollo

Post by GiovanniC
Salve a tutti
AB=BA
Alcune matrici che soddisfano l'uguaglianza, ad esempio la matrice
identità e la matrice nulla. Gradirei altre indicazioni.

la condizione data, applicata a una matrice generica B, equivale a un
sistema lineare 4x4 nei coefficienti di B, di rango 2, risolvendo il
B = ((4h,0),(h+k,h-3h))

h-3k ovviamente...

\bye
--
|-----------1^2
|
|
|
-1-------------|------------ +1
|
|
|
(-1)^2--------|

[BrainUser]

Tutte le matrici della forma:

(3h + k) (0)
(h) (k)

commutano con la matrice A.

[AndreaM]

Post by GiovanniC
Salve a tutti
AB=BA

Data una qualunque matrice A di ordine n tutte le matrici che si
ottengono come espressioni polinomiali in A commutano con A. Siccome
però una matrice soddisfa il suo polinomio caratteristico, basta
prendere espressioni polinomiali di grado <= n.

La questione è se ce ne è altre oltre queste. La cosa è discussa ad
esempio qui:
http://math.stackexchange.com/questions/92480/given-a-matrix-is-there-always-another-matrix-which-commutes-with-it/92503#92503

[Enrico Gregorio]

Post by GiovanniC
Salve a tutti
AB=BA
Alcune matrici che soddisfano l'uguaglianza, ad esempio la matrice identità e
la matrice nulla.
Gradirei altre indicazioni.

Trovare /le/ matrici B tali che AB = BA. Ce ne sono infinite.
Se B = ((a,b),(c,d)), puoi calcolare

AB = ((4a,4b),(a+c,b+d))

e

BA = ((4a+b,b),(4c+d,d))

dunque hai il sistema lineare

4a = 4a + b
4b = b
a + c = 4c + d
b + d = d

La prima dice b = 0 (e così la seconda e la quarta); rimane
la terza, cioè

a = 3c + d

e dunque tutte le matrici della forma

3c + d 0
c d

soddisfano la tua richiesta.

Per c = 0 e d = 1 trovi l'identità; Per c = 0 e d = 0
hai la matrice nulla; per c = 1, d = 1 hai la matrice
A stessa.

Ciao
Enrico

[Elio Fabri]

AB=BA

Intanto l'enunciato è scorretto: non puoi dire "trovare la matrice"
come se fosse unica (tanto più che sai già che non lo è).
Dovevi dire o "trovare *una* matrice..." e a questo avevi già delle
risposte, oppure "trovare *tutte* le matrici...".

Come rispondere col calcolo diretto l'hai già visto.
Ora ti propongo una soluzione diversa, che non so se potrai seguire
perché non so se conosci autovettori e autovalori.

1. Verifica che la matrice A ha due autovettori indipendenti, diciamo
u e v, uno con autovalore 4 e uno con autovalore 1.

2. Dimostra che se B commuta con A, u e v sono anche autovettori di B,
con autovettori qualsiasi, e viceversa: se B ha u e vo come
autovettori, commuta con A.

3. Dimostra che tutte le matrici che hanno u e v come autovettori sono
combinazioni lineari di A e di I.