Retta tangente

[marco]

E' noto che data una funzione reale di variabile reale, la derivata
prima in un dato punto rappresenta il coefficiente angolare della retta
tangente alla funzione in tale punto. Una dimostrazione rigorosa di
ciò esiste oppure devo intendere che quella sopra esposta altro non è
che la definizione di retta tangente? Grazie per l'attenzione.

[Massimo 123h]

"marco" <***@supereva.it> ha scritto nel messaggio news:***@z14g2000cwz.googlegroups.com...
E' noto che data una funzione reale di variabile reale, la derivata
prima in un dato punto rappresenta il coefficiente angolare della retta
tangente alla funzione in tale punto. Una dimostrazione rigorosa di
ciò esiste oppure devo intendere che quella sopra esposta altro non è
che la definizione di retta tangente? Grazie per l'attenzione.

La dimostrazione della definizione di retta tangente
la ottieni solo se prima stabilisci l'interpretazione geometrica
della derivata partendo dalla retta secante la funzione
(la trovi in qualsiasi libro di testo di analisi)

ciao
Massimo

[Stargatto]

Post by marco
E' noto che data una funzione reale di variabile reale, la derivata
prima in un dato punto rappresenta il coefficiente angolare della retta
tangente alla funzione in tale punto. Una dimostrazione rigorosa di
ciò esiste oppure devo intendere che quella sopra esposta altro non è
che la definizione di retta tangente? Grazie per l'attenzione.

scusa, ma se ho la retta
y=5x+7 la sua derivata qual'è? 5 ovviamente, e infatti è il suo
coefficiente angolare! poichè le rette sono equazioni lineari di
primo grado del tipo f(x)=mx+q, noti subito (dalle definizione) che
la derivata f'(x)=m; da quel che so io (e forse pè proprio quello che
vuoi sapere) il coefficiente m è detto proprio "coefficiente angolare"
della retta, per cui l'unica dimostrazione che puoi trovare è qualcosa del
tipo

ho f(x)=mx+q dove m è detto "coefficiente angolare"; ne calcolo la derivata
in un punto generico x0 sfruttando la definizione (sappiamo che f(x) è
continua ecc...)
f'(x)=lim(x->x0) di [f(x)-f(x0)]/[x-x0] = lim(x->x0) di [mx+q-mx0-q]/(x-x0)
= lim(x->x0) di m[x-x0]/[x-x0]=m

[Enrico Gregorio]

Post by marco
E' noto che data una funzione reale di variabile reale, la derivata
prima in un dato punto rappresenta il coefficiente angolare della retta
tangente alla funzione in tale punto. Una dimostrazione rigorosa di
ciò esiste oppure devo intendere che quella sopra esposta altro non è
che la definizione di retta tangente? Grazie per l'attenzione.

È la definizione. Il solito disegno della secante che si avvicina
alla tangente è solo una giustificazione intuitiva che si può rendere
rigorosa per esempio ponendo una topologia sull'insieme delle rette
passanti per un punto, eccetera.

La tangente può essere definita per altra via nel caso in cui la
funzione sia algebrica (con la molteplicità di intersezione, come
si fa al liceo per la parabola e la circonferenza). Ovviamente le
due definizioni coincidono, in questo caso.

Ciao
Enrico

[marco]

Grazie era ciò che mi aspettavo. Tuttavia non sono in grado di
comprendere cosa intende con la frase "si può rendere rigorosa per
esempio ponendo una topologia sull'insieme delle rette passanti per un
punto". Grazie a tutti per l'attenzione.

[Enrico Gregorio]

Post by marco
Grazie era ciò che mi aspettavo. Tuttavia non sono in grado di
comprendere cosa intende con la frase "si può rendere rigorosa per
esempio ponendo una topologia sull'insieme delle rette passanti per un
punto". Grazie a tutti per l'attenzione.

Occorre dare una topologia per poter parlare di limite. I limiti non
sono una "prerogativa" dei numeri reali; se ne può dare la definizione
in modo molto generale. Ma per gli scopi dell'analisi delle funzioni
reali di una variabile reale, la definizione di retta tangente come
quella determinata dalla derivata è più che sufficiente.

Ciao
Enrico

[Elio Fabri]

È la definizione. Il solito disegno della secante che si avvicina alla
tangente è solo una giustificazione intuitiva che si può rendere
rigorosa per esempio ponendo una topologia sull'insieme delle rette
passanti per un punto, eccetera.
La tangente può essere definita per altra via nel caso in cui la
funzione sia algebrica (con la molteplicità di intersezione, come
si fa al liceo per la parabola e la circonferenza). Ovviamente le
due definizioni coincidono, in questo caso.

Ecco, di questo non sono tanto convinto.
Ma se sbaglio, mi spiegherai l'errore.

A me pare che per una curva suff. regolare (che non deve neppure
essere definita come grafico di una funzione: puo' essere un luogo
geometrico) la tangente si possa definire come quella retta (unica)
che in un intorno del punto che interessa ha una sola intersezione con
la curva.

Ora che l'ho scritto pero' mi nasce il dubbio: come faccio ad asserire
che tale retta esiste sempre ed e' unica?
Potrei usare questa condizione come definizione di curva regolare?


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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

[Betelgeuse]

Post by Elio Fabri

È la definizione. Il solito disegno della secante che si avvicina alla
tangente è solo una giustificazione intuitiva che si può rendere
rigorosa per esempio ponendo una topologia sull'insieme delle rette
passanti per un punto, eccetera.
La tangente può essere definita per altra via nel caso in cui la
funzione sia algebrica (con la molteplicità di intersezione, come
si fa al liceo per la parabola e la circonferenza). Ovviamente le
due definizioni coincidono, in questo caso.

Ecco, di questo non sono tanto convinto.
Ma se sbaglio, mi spiegherai l'errore.
A me pare che per una curva suff. regolare (che non deve neppure
essere definita come grafico di una funzione: puo' essere un luogo
geometrico) la tangente si possa definire come quella retta (unica)
che in un intorno del punto che interessa ha una sola intersezione con
la curva.

Ad esempio, x^140 sin(1/x) e' sufficientemente regolare in un intorno di
zero,
ma la tangente (y=0) ha infinite intersezioni in ogni intorno di zero.

[Elio Fabri]

Post by Betelgeuse
Ad esempio, x^140 sin(1/x) e' sufficientemente regolare in un intorno
di zero, ma la tangente (y=0) ha infinite intersezioni in ogni intorno
di zero.

OK, ma perche' non hai citato quello che ho scritto dopo?
Te lo ripeto:

Ora che l'ho scritto pero' mi nasce il dubbio: come faccio ad asserire
che tale retta esiste sempre ed e' unica?
Potrei usare questa condizione come definizione di curva regolare?

Era proprio a un esempio come il tuo che pensavo...
In altre parole, ci sarebbero obiezioni a dire che il tuo esempio non
e' una curva regolare? (anche se e' C^137, mi pare :-) ).


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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

[Betelgeuse]

Post by Elio Fabri

Post by Betelgeuse
Ad esempio, x^140 sin(1/x) e' sufficientemente regolare in un intorno
di zero, ma la tangente (y=0) ha infinite intersezioni in ogni intorno
di zero.

OK, ma perche' non hai citato quello che ho scritto dopo?
Ora che l'ho scritto pero' mi nasce il dubbio: come faccio ad asserire
che tale retta esiste sempre ed e' unica?
Potrei usare questa condizione come definizione di curva regolare?
Era proprio a un esempio come il tuo che pensavo...
In altre parole, ci sarebbero obiezioni a dire che il tuo esempio non
e' una curva regolare? (anche se e' C^137, mi pare :-) ).

exp[-1/x^2]*sin(1/x). questa e' C^\infty e ha lo stesso problema.

[Betelgeuse]

Post by Elio Fabri

Post by Betelgeuse
Ad esempio, x^140 sin(1/x) e' sufficientemente regolare in un intorno
di zero, ma la tangente (y=0) ha infinite intersezioni in ogni intorno
di zero.

OK, ma perche' non hai citato quello che ho scritto dopo?
Ora che l'ho scritto pero' mi nasce il dubbio: come faccio ad asserire
che tale retta esiste sempre ed e' unica?
Potrei usare questa condizione come definizione di curva regolare?
Era proprio a un esempio come il tuo che pensavo...
In altre parole, ci sarebbero obiezioni a dire che il tuo esempio non
e' una curva regolare? (anche se e' C^137, mi pare :-) ).

scusa. mi sono scordato di completare la risposta riguardo al secondo
punto.
Puoi senza dubbio costruire funzioni poco regolari che hanno retta
"tangente"
secondo la definizione che hai dato. Ad esempio, f(x)=x|x|.
Quindi, come definizione non va bene.

[Elio Fabri]

Post by Betelgeuse
exp[-1/x^2]*sin(1/x). questa e' C^\infty e ha lo stesso problema.
scusa. mi sono scordato di completare la risposta riguardo al
secondo punto.
Puoi senza dubbio costruire funzioni poco regolari che hanno retta
"tangente" secondo la definizione che hai dato. Ad esempio, f(x)=x|x|.
Quindi, come definizione non va bene.

Ho idea che non ci capiamo...

Il discorso era partito dal tentativo di dare una definizione *non
differenziale* di tangente.
La mia domanda era: c'e' qualcosa che osti a escludere dalle curve
regolari (e' una definiizione!) quelle che non hanno tangente nel
senso che ho detto?

Secondo quest'idea, la tua prima curva non e' regoalre, la seconda lo
e'.
Che c'e' di male?

Ripeto per chiarezza il tentativo di definizione: dico che una curva
e' regolare in un punto A se esiste un intorno di A in cui:
1) ogni retta per A incontra la curva inun numero finito di punti
2) esiste un'unica retta che ha in comune con la curva soltanto A.
Questa retta si chiama tangente alla curva in A.


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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

[Betelgeuse]

Post by Elio Fabri

Post by Betelgeuse
exp[-1/x^2]*sin(1/x). questa e' C^\infty e ha lo stesso problema.
scusa. mi sono scordato di completare la risposta riguardo al
secondo punto.
Puoi senza dubbio costruire funzioni poco regolari che hanno retta
"tangente" secondo la definizione che hai dato. Ad esempio, f(x)=x|x|.
Quindi, come definizione non va bene.

Ho idea che non ci capiamo...
Il discorso era partito dal tentativo di dare una definizione *non
differenziale* di tangente.
La mia domanda era: c'e' qualcosa che osti a escludere dalle curve
regolari (e' una definiizione!) quelle che non hanno tangente nel
senso che ho detto?
Secondo quest'idea, la tua prima curva non e' regoalre, la seconda lo
e'.
Che c'e' di male?
Ripeto per chiarezza il tentativo di definizione: dico che una curva
1) ogni retta per A incontra la curva inun numero finito di punti
2) esiste un'unica retta che ha in comune con la curva soltanto A.
Questa retta si chiama tangente alla curva in A.

non avevo inteso. pensavo volessi dare una definizione
*equivalente* a quella usuale senza fare uso della derivata.

in ogni caso, secondo la tua definizione, f(x)=x
non e' regolare in nessun punto.

inoltre, puoi costruire una curva
con una retta tangente che interseca la curva in un solo punto, ma ogni
altra retta
passante per il punto interseca la curva in infiniti punti (in ogni intorno
del punto)