Indovinello 2-ter Telo elastico a tenda

[Wakinian Tanka]

Sempre piu' difficile! :-)

Terra sferica, di raggio R.
Si assuma di poter realizzare un telo in un materiale in grado di deformarsi localmente mantenendo pero' invariata l'area della sua superficie complessiva, che e' pari a 4*pi*R^2 + 1m^2
(superficie esterna della Terra + 1m^2).

Lo si avvolge strettamente attorno al pianeta in modo perfettamente aderente, finche' cio' e' possibile e il resto lo si erge a mo' di tenda sopra la superficie terrestre per mezzo di un palo di altezza h.

Trovare h.

Ci sta un gatto dentro la tenda? :-)
E una giraffa? Una formica?

--
Wakinian Tanka

[effe]

Post by Wakinian Tanka
Trovare h.
Ci sta un gatto dentro la tenda? :-)
E una giraffa? Una formica?

Formica. Poco più di 2 mm?

[El Filibustero]

Post by Wakinian Tanka
Terra sferica, di raggio R.
Si assuma di poter realizzare un telo in un materiale in grado di deformarsi localmente mantenendo pero' invariata l'area della sua superficie complessiva, che e' pari a 4*pi*R^2 + 1m^2
(superficie esterna della Terra + 1m^2).
Lo si avvolge strettamente attorno al pianeta in modo perfettamente aderente, finche' cio' e' possibile e il resto lo si erge a mo' di tenda sopra la superficie terrestre per mezzo di un palo di altezza h.
Trovare h.

Assumendo R=6731000 m, h risulta sui 37 nm, SE&O. Ciao

[El Filibustero]

Post by El Filibustero

Post by Wakinian Tanka
Trovare h.

Assumendo R=6731000 m, h risulta sui 37 nm, SE&O. Ciao

Oooooops, h e' circa 56 cm. Ciao

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
Oooooops, h e' circa 56 cm. Ciao

Ossia circa 1/sqrt(pi) metri, valore limite per R tendente a infinito.
Ciao

[effe]

Post by El Filibustero

Post by El Filibustero
Oooooops, h e' circa 56 cm. Ciao

Ossia circa 1/sqrt(pi) metri, valore limite per R tendente a infinito.

Sai come ero arrivato alla misura che ho indicato, senza riflettere come
avrei dovuto?

Ho calcolato il deltacirc tra le lunghezze delle circonferenze dei due
cerchi massimi e poi, considerando quella differenza come la differenza
della corda rispetto alla circonferenza della terra di Indovinello 2, ho
moltiplicato quella semidifferenza per radice cubica di 9/32R che salvo
errori mi dà, appunto poco più di 2 mm.

[effe]

Post by effe
quella semidifferenza per radice cubica di 9/32R che salvo
errori mi dà, appunto poco più di 2 mm.

ma cooosa? ho sostituito ad a

[ADPUF]

Post by El Filibustero

Post by El Filibustero

Post by Wakinian Tanka
Trovare h.

Assumendo R=6731000 m, h risulta sui 37 nm, SE&O. Ciao

Oooooops, h e' circa 56 cm. Ciao

Il circo delle pulci.

[Giorgio Bibbiani]

Post by Wakinian Tanka
Terra sferica, di raggio R.
Si assuma di poter realizzare un telo in un materiale in grado di
deformarsi localmente mantenendo pero' invariata l'area della sua
superficie complessiva, che e' pari a 4*pi*R^2 + 1m^2 (superficie
esterna della Terra + 1m^2).
Lo si avvolge strettamente attorno al pianeta in modo perfettamente
aderente, finche' cio' e' possibile e il resto lo si erge a mo' di
tenda sopra la superficie terrestre per mezzo di un palo di altezza
h.
Trovare h.

Il telo teso, dove si distacca da terra, forma un cono
circolare retto di semiapertura alfa, apotema r e
area laterale A_cono che deve superare di 1 m^2
l'area A_calotta della calotta sferica compresa
entro la base del cono e avente semiapertura teta,
sia R il raggio terrestre, l'apotema del cono e':

r = sqrt((R + h)^2 - R^2) = sqrt(2R h + h^2)

inoltre si ha:

sen(alfa) = cos(teta) = R / (R + h)
A_cono = Pi sen(alfa) r^2 = Pi R / (R + h) (2R h + h^2)
A_calotta = 2Pi R^2 (1 - cos(teta)) = 2 Pi R^2 (1 - R /(R + h))
= 2Pi R^2 h / (R + h)

la condizione richiesta e':

A_cono - A_calotta = Pi R / (R + h) h^2 = 1 m^2

che nel limite h << R implica:

h = sqrt(1/Pi) m,

che *e' giusta* in quanto gia' trovata da El Filibustero ;-).

Ciao

[effe]

Post by Giorgio Bibbiani
A_cono - A_calotta = Pi R / (R + h) h^2 = 1 m^2
h = sqrt(1/Pi) m,

Bello

Post by Giorgio Bibbiani
che *e' giusta* in quanto gia' trovata da El Filibustero ;-).

che è una garanzia :)

[Wakinian Tanka]

Anzitutto devo scusarmi perche' ho omesso una condizione che tutti avete dato per scontato ma che non lo era, in base all'impostazione del problema: che il telo sia tangente alla superficie terrestre nei punti in cui si stacca da essa.
Probabilmente cio' ne conseguirebbe automaticamente a causa delle forze in gioco in un modello fisico, ma il telo in q.to caso ha proprieta' /molto/ particolari, inoltre non ho asserito che non si incollasse alla superficie della Terra.

Detto questo, a me non torna il risultato di El Filibustero. A me vengono due soluzioni: una per theta (angolo formato dal raggio terrestre in un punto di tangenza ed il medesimo allineato con il vertice del cono, cioe' angolo di semiapertura della calotta sferica) = 1, l'altra per theta = 3/5 --> h = 2R/3!

h = R{1/cos(theta) - 1)

Area superficie laterale del cono = pi*R^2*tan(theta) = Acono
Area superficie esterna calotta: 2pi*R^2{1/cos(theta) - 1} = Acalotta

Acono - Acalotta = 1 --> indicando con g = 1/pi*R^2; c = cos(theta):

(5-4g+g^2)c^2 + (4g-8)c + 3 = 0

trascuro g^2 rispetto a 5-4g:

--> c = 1; 3/5

Da c = cos(theta) = 1 segue h = 0.
Da c = cos(theta) = 3/5 segue h = 2R/3.

Ovviamente c'e' qualcosa che non torna, sigh!

--
Wakinian Tanka

[El Filibustero]

Post by Wakinian Tanka
Area superficie laterale del cono = pi*R^2*tan(theta) = Acono

no, Acono = pi*RR*tan(theta)sin(theta)

Post by Wakinian Tanka
Area superficie esterna calotta: 2pi*R^2{1/cos(theta) - 1} = Acalotta

no, Acalotta = 2*pi*RR*(1-cos(theta)). Ciao

[Wakinian Tanka]

Post by El Filibustero

Post by Wakinian Tanka
Area superficie laterale del cono = pi*R^2*tan(theta) = Acono

no, Acono = pi*RR*tan(theta)sin(theta)

Post by Wakinian Tanka
Area superficie esterna calotta: 2pi*R^2{1/cos(theta) - 1} = Acalotta

no, Acalotta = 2*pi*RR*(1-cos(theta)). Ciao

Gulp! Hai ragione! Senti ma bischero che sono stato: per calcolare quelle superfici ho usato le stesse lettere R, H del problema ma con significati diversi! :-(

Allora: Acono - Acalotta = 1

pi*R^2 sin^2(theta) / cos(theta) - 2pi*R^2 (1-cos(theta)) = 1

indico con g = 1/pi*R^2

cos^2(theta) - (2 + g)cos(theta) + 1 = 0

-->

cos(theta) =~ 1 - sqrt(g) (trascurando g^2 rispetto a 4g).

H = R(1/cos(theta) - 1) = R*sqrt(g)/{1-sqrt(g)} =~ R*sqrt(g) =

= 1/sqrt(pi) m =~ 56,42 cm.

Interessante il fatto che per R grande l'altezza H tende ad un valore costante!

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Post by Giorgio Bibbiani
Il telo teso, dove si distacca da terra, forma un cono
circolare retto di semiapertura alfa, apotema r e
area laterale A_cono che deve superare di 1 m^2
l'area A_calotta della calotta sferica compresa
entro la base del cono e avente semiapertura teta,
r = sqrt((R + h)^2 - R^2) = sqrt(2R h + h^2)
sen(alfa) = cos(teta) = R / (R + h)
A_cono = Pi sen(alfa) r^2 = Pi R / (R + h) (2R h + h^2)
A_calotta = 2Pi R^2 (1 - cos(teta)) = 2 Pi R^2 (1 - R /(R + h))
= 2Pi R^2 h / (R + h)
A_cono - A_calotta = Pi R / (R + h) h^2 = 1 m^2
h = sqrt(1/Pi) m,

Alla fine viene cosi' anche a me, pero' la tua ultima approssimazione non mi soddisfa del tutto in quanto
a priori non posso sapere se h e' trascurabile rispetto ad R.
Ciao.

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Bibbiani]

Post by Wakinian Tanka

Post by Giorgio Bibbiani
A_cono - A_calotta = Pi R / (R + h) h^2 = 1 m^2
h = sqrt(1/Pi) m,

Alla fine viene cosi' anche a me, pero' la tua ultima approssimazione
non mi soddisfa del tutto in quanto
a priori non posso sapere se h e' trascurabile rispetto ad R.

Intanto grazie dell'occasione per correggere una mia
espressione imprecisa, "nel limite" non e' corretto...

E' un Ansatz, si fa l'ipotesi che valga h << R e allora dalla
formula esatta sopra si ricava il valore approssimato
h = sqrt(1/Pi) m che ovviamente a posteriori verifica l'ipotesi.

Ciao