(troppo vecchio per rispondere)
Media geometrica<=media aritmetica
Bruno Campanini
2007-04-05 09:16:50 UTC
Come si dimostra che
(x1 x2... xn)^1/n <= (x1+x2... +xn)/n
per valori non negativi di x e senza disturbare l'induzione?

Bruno
iNello
2007-04-05 10:51:53 UTC
Usi la disugualianza di Jensen sulla media integrale.

Consideri lo spazio mensurale (X, M, m) dove X=[a_1, a_2, ..., a_n] , M=P(X)
e m(X)=1 e m(a_i)=1/n

come funzione f : X----->R dove f(a_1)=x_i e int(f dm)=\sum_i=1^n (x_i)/n

come funzione convessa usi y(t)=exp(t)

quindi ottieni che exp(1/n*sum(x_i))<=sum(exp(x_i)/n), da cui

(TT(exp(x_i))^(1/n)<=1/n*sum(exp(x_i)) e se poni e^x_i=y_i>0 allora ottieni
che la media geometrica e <= della media aritmetica e l'ugualianza vale se e
solo se tutti gli y_i sono uguali.

Spero di essere stato chiaro.

Ciao

iNello
Bruno Campanini
2007-04-05 12:54:15 UTC
Post by iNello
Usi la disugualianza di Jensen sulla media integrale.
Consideri lo spazio mensurale (X, M, m) dove X=[a_1, a_2, ..., a_n] ,
M=P(X) e m(X)=1 e m(a_i)=1/n
come funzione f : X----->R dove f(a_1)=x_i e int(f dm)=\sum_i=1^n (x_i)/n
come funzione convessa usi y(t)=exp(t)
quindi ottieni che exp(1/n*sum(x_i))<=sum(exp(x_i)/n), da cui
(TT(exp(x_i))^(1/n)<=1/n*sum(exp(x_i)) e se poni e^x_i=y_i>0 allora
ottieni che la media geometrica e <= della media aritmetica e l'ugualianza
vale se e solo se tutti gli y_i sono uguali.
Spero di essere stato chiaro.
Immagino sia stato chiarissimo ma io non ci ho capito nulla.
Non conoscono Jensen né gli spazi mensurali; pensavo a
qualcosa di più elementare.
Grazie comunque.

Bruno
El Filibustero
2007-04-05 14:35:16 UTC
Post by Bruno Campanini
Come si dimostra che
(x1 x2... xn)^1/n <= (x1+x2... +xn)/n
per valori non negativi di x e senza disturbare l'induzione?
"Disturbare" l'induzione e' necessario ogni volta che si vuole una
dimostrazione rigorosa su un numero naturale qualsiasi di oggetti,
come e' quella richiesta. Comunque, in termini informali, basta
osservare che il prodotto di due fattori positivi e' minore o uguale
al quadrato della loro media: e' conseguenza della disuguaglianza

(x-y)^2 >= 0 ---> xx+yy >= 2xy

Ciao
Enrico Gregorio
2007-04-05 13:37:32 UTC
Post by Bruno Campanini
Post by iNello
Usi la disugualianza di Jensen sulla media integrale.
Consideri lo spazio mensurale (X, M, m) dove X=[a_1, a_2, ..., a_n] ,
M=P(X) e m(X)=1 e m(a_i)=1/n
come funzione f : X----->R dove f(a_1)=x_i e int(f dm)=\sum_i=1^n (x_i)/n
come funzione convessa usi y(t)=exp(t)
quindi ottieni che exp(1/n*sum(x_i))<=sum(exp(x_i)/n), da cui
(TT(exp(x_i))^(1/n)<=1/n*sum(exp(x_i)) e se poni e^x_i=y_i>0 allora
ottieni che la media geometrica e <= della media aritmetica e l'ugualianza
vale se e solo se tutti gli y_i sono uguali.
Spero di essere stato chiaro.
Immagino sia stato chiarissimo ma io non ci ho capito nulla.
Non conoscono Jensen né gli spazi mensurali; pensavo a
qualcosa di più elementare.
Direi che iNello ha sparato con un grosso cannone. Se hai due numeri
positivi a e b, puoi scrivere a=e^x, b=e^y; la disuguaglianza delle
medie equivale a stabilire che

e^((x+y)/2) <= (e^x + e^y)/2

che è vera perché l'esponenziale è una funzione convessa:

se 0<t<1, f(tx + (1-t)y) < t f(x) + (1-t) f(y)

Temo che giustificare l'estensione a n addendi con la disuguaglianza
di Jensen sia leggermente più complicato che con l'induzione, anche se
la misura in oggetto non è difficile da trattare. ;-)

Per la tua questione, mi pare di ricordare qualcosa sul
Courant-Robbins, ma non ce l'ho sotto mano per controllare.

Ciao
Enrico
iNello
2007-04-05 13:51:02 UTC
Post by Enrico Gregorio
Direi che iNello ha sparato con un grosso cannone.
:-D


iNello
Bruno Campanini
2007-04-05 14:38:19 UTC
Post by El Filibustero
Post by Bruno Campanini
Come si dimostra che
(x1 x2... xn)^1/n <= (x1+x2... +xn)/n
per valori non negativi di x e senza disturbare l'induzione?
"Disturbare" l'induzione e' necessario ogni volta che si vuole una
dimostrazione rigorosa su un numero naturale qualsiasi di oggetti,
come e' quella richiesta. Comunque, in termini informali, basta
osservare che il prodotto di due fattori positivi e' minore o uguale
al quadrato della loro media: e' conseguenza della disuguaglianza
(x-y)^2 >= 0 ---> xx+yy >= 2xy
Volevi dire che il prodotto di due fattori positivi è minore
o uguale alla media (aritmetica) dei loro quadrati.
Ché altrimenti il problema, almeno per due numeri,
sarebbe già risolto.

Bruno
Enrico Gregorio
2007-04-05 15:11:16 UTC
Post by Bruno Campanini
Post by El Filibustero
Post by Bruno Campanini
Come si dimostra che
(x1 x2... xn)^1/n <= (x1+x2... +xn)/n
per valori non negativi di x e senza disturbare l'induzione?
"Disturbare" l'induzione e' necessario ogni volta che si vuole una
dimostrazione rigorosa su un numero naturale qualsiasi di oggetti,
come e' quella richiesta. Comunque, in termini informali, basta
osservare che il prodotto di due fattori positivi e' minore o uguale
al quadrato della loro media: e' conseguenza della disuguaglianza
(x-y)^2 >= 0 ---> xx+yy >= 2xy
Volevi dire che il prodotto di due fattori positivi è minore
o uguale alla media (aritmetica) dei loro quadrati.
Ché altrimenti il problema, almeno per due numeri,
sarebbe già risolto.
Dai, basta porre x=sqrt(a) e y=sqrt(b):

sqrt(ab) <= (a + b)/2

Ciao
Enrico
Bruno Campanini
2007-04-05 15:34:37 UTC
Post by Enrico Gregorio
sqrt(ab) <= (a + b)/2
Se anche mi cambi i due termini con sqrt(a); sqrt(b)

G = sqrt(sqr(a)sqrt(b))
M1 = [sqrt(a) + sqrt(b)] / 2

Facendo il quadrato dei due ottengo

sqrt(ab)<={[sqrt(a) + sqrt(b)] / 2}^2 # (a + b)/2

O mi sfugge qualcosa?

Bruno
Festen
2007-04-05 16:40:20 UTC
Post by Bruno Campanini
Come si dimostra che
(x1 x2... xn)^1/n <= (x1+x2... +xn)/n
per valori non negativi di x e senza disturbare l'induzione?
Io ho sottomano, tratta dal Landenna, la dimostrazione di monotonia
delle medie potenziate rispetto all'ordine che come caso particolare
risponde alla tua richiesta. Usa derivazione e disuguaglianza di
Cauchy-Schwartz. Non è il massimo della semplicità, è lunga tre pagine.
In caso di necessità te la posso riportare.
Bruno Campanini
2007-04-05 16:56:55 UTC
Post by Bruno Campanini
Come si dimostra che
(x1 x2... xn)^1/n <= (x1+x2... +xn)/n
per valori non negativi di x e senza disturbare l'induzione?
Io ho sottomano, tratta dal Landenna, la dimostrazione di monotonia delle
medie potenziate rispetto all'ordine che come caso particolare risponde
alla tua richiesta. Usa derivazione e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Non è il massimo della semplicità, è lunga tre pagine. In caso di
necessità te la posso riportare.
Ti ringrazio ma non è quello che cerco.
Ho anch'io sottomano una dimostrazione contenuta in un
vecchio testo di statistica, molto semplice e molto lunga,
che parte dal calcolo del limite di un valore medio potenziato
Ms per s-->-inf, s-->0, etc fino al s-->+inf.
Ho anche una dimostrazione condotta in maniera algebrica
e molto elementare, seppur lunghetta!

Evidentemente qualcosa di semplice al riguardo non esiste.

Ciao
Bruno
El Filibustero
2007-04-05 18:26:16 UTC
Post by Bruno Campanini
Post by El Filibustero
Comunque, in termini informali, basta
osservare che il prodotto di due fattori positivi e' minore o uguale
al quadrato della loro media: e' conseguenza della disuguaglianza
(x-y)^2 >= 0 ---> xx+yy >= 2xy
Volevi dire che il prodotto di due fattori positivi è minore
o uguale alla media (aritmetica) dei loro quadrati.
Ché altrimenti il problema, almeno per due numeri,
sarebbe già risolto.
No, volevo dire esattamente quello che ho scritto. Prova ad aggiungere
2xy ad entrambi i membri di xx+yy >= 2xy e a dividere per 4. Ciao
Enrico Gregorio
2007-04-05 18:24:16 UTC
Post by Bruno Campanini
Post by Enrico Gregorio
sqrt(ab) <= (a + b)/2
Se anche mi cambi i due termini con sqrt(a); sqrt(b)
G = sqrt(sqr(a)sqrt(b))
M1 = [sqrt(a) + sqrt(b)] / 2
Facendo il quadrato dei due ottengo
sqrt(ab)<={[sqrt(a) + sqrt(b)] / 2}^2 # (a + b)/2
O mi sfugge qualcosa?
(sqrt(a)-sqrt(b))^2 >= 0

a - 2sqrt(ab) + b >= 0

(a + b)/2 >= sqrt(ab)

Ciao
Enrico
Bruno Campanini
2007-04-05 18:36:13 UTC
Post by El Filibustero
No, volevo dire esattamente quello che ho scritto. Prova ad aggiungere
2xy ad entrambi i membri di xx+yy >= 2xy e a dividere per 4. Ciao
Sei tutto una suspance!
Scrivi in lettere il quadrato della media, in simboli la media
dei quadrati, poi arrivi al quadrato della media.
Ok, avevi ragione; per due termini problema risolto
con la massima semplicità.
Non è che rimuginandoci un po' sopra riesci a snocciolare
con altrettanta semplicità la dimostrazione per n termini?

Potenza delle diseguaglianze, poiché xy<= alla media dei
quadrati ed anche <= al quadrato della media.
Pur essendovi il mare fra il quadrato della media e la
media dei quadrati.

Ciao
Bruno
El Filibustero
2007-04-05 21:50:40 UTC
Post by Bruno Campanini
Non è che rimuginandoci un po' sopra riesci a snocciolare
con altrettanta semplicità la dimostrazione per n termini?
Un prodotto di n fattori positivi aventi una somma prefissata e'
massimo solo se essi sono tutti uguali. Infatti se ci fossero due
fattori diversi, sostituendoli entrambi con la loro media il prodotto
aumenterebbe (lasciando invariata la somma prefissata). Ciao
Bruno Campanini
2007-04-06 09:15:52 UTC
Post by Enrico Gregorio
(sqrt(a)-sqrt(b))^2 >= 0
a - 2sqrt(ab) + b >= 0
(a + b)/2 >= sqrt(ab)
Perché partire bottom-up, fermarsi a metà,
sibillinamente, senza curarsi dell'altrui arrancare?

(x + y) / 2 >= Sqrt(xy)

x^2 + y^2 + 2xy >= 4xy

x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2 >= 0

Che ci voleva?

Bruno
Kiuhnm
2007-04-06 10:34:18 UTC
Post by El Filibustero
Un prodotto di n fattori positivi aventi una somma prefissata e'
massimo solo se essi sono tutti uguali. Infatti se ci fossero due
fattori diversi, sostituendoli entrambi con la loro media il prodotto
aumenterebbe (lasciando invariata la somma prefissata). Ciao
A dir poco geniale (seppur già apparso su questo ng).

Kiuhnm
Kiuhnm
2007-04-06 10:43:14 UTC
Post by Kiuhnm
A dir poco geniale (seppur già apparso su questo ng).
Questo suggerisce che, a volte, capire quando vale l'uguaglianza può
aiutare a dimostrare la disuguaglianza.

Kiuhnm
Bruno Campanini
2007-04-06 11:20:58 UTC
Post by Kiuhnm
Post by El Filibustero
Un prodotto di n fattori positivi aventi una somma prefissata e'
massimo solo se essi sono tutti uguali. Infatti se ci fossero due
fattori diversi, sostituendoli entrambi con la loro media il prodotto
aumenterebbe (lasciando invariata la somma prefissata). Ciao
A dir poco geniale (seppur già apparso su questo ng).
Kiuhnm
Senza nulla voler togliere all'ottimo El Filibustero la genialità
sarebbe aver scoperto che 9 * 7 < 8 * 8?
Sono un genio anch'io...

Buona Pasqua
Bruno
Kiuhnm
2007-04-06 11:44:40 UTC
Post by Bruno Campanini
Sono un genio anch'io...
Non mi pare proprio dato che, anziché ringraziare, offendi.

Kiuhnm

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